Das Gauß-Verfahren

Drei Gleichungen, drei Variablen — durch Einsetzen wird das schnell ein Zettelchaos. Das Gauß-Verfahren geht anders vor: Es räumt auf, bis unten nur noch eine Variable steht.

Ausprobieren

Löse jede Zeilenumformung selbst aus. Jeder Knopf addiert ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen und macht dabei genau eine Zahl zu null — bis die Stufenform dasteht.

System

Merke · Erlaubte Umformungen

Diese drei Umformungen ändern die Lösung eines Gleichungssystems nicht — nur sein Aussehen:

Zeilen tauschenDie Reihenfolge der Gleichungen ist egal.
Eine Zeile mit $c \neq 0$ multiplizierenBeide Seiten mit derselben Zahl — die Null ist verboten, sonst geht Information verloren.
Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addierenDas ist der Schritt, mit dem Variablen verschwinden.

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Für drei Gleichungen mit drei Variablen $x_1$, $x_2$, $x_3$:

Die erste Gleichung bleibt stehen.
Mit ihrer Hilfe $x_1$ aus der zweiten und der dritten Gleichung entfernen.
Mit der neuen zweiten Gleichung $x_2$ aus der dritten entfernen.
Jetzt steht die Stufenform da. Von unten nach oben auflösen: erst $x_3$, damit $x_2$, damit $x_1$.

Schritt 4 heißt Rückwärtseinsetzen. Die Stufenform verdankt ihren Namen der Treppe, die dabei entsteht ($\ast$ steht für irgendeine Zahl):

$$\begin{array}{rrcrcrcr} \mathrm{I} & \ast\,x_1 & + & \ast\,x_2 & + & \ast\,x_3 & = & \ast \\[2pt] \mathrm{IIa} & & & \ast\,x_2 & + & \ast\,x_3 & = & \ast \\[2pt] \mathrm{IIIb} & & & & & \ast\,x_3 & = & \ast \end{array}$$

Tipp

Der Faktor ergibt sich immer aus der Zahl, die verschwinden soll. Steht in Zeile $\mathrm{I}$ vorn eine $1$ und in Zeile $\mathrm{II}$ vorn eine $4$, dann rechnet man $\mathrm{II} + (-4)\cdot\mathrm{I}$.

Steht in der ersten Gleichung gar kein $x_1$, tauscht man sie einfach mit einer anderen — das ist erlaubt und kostet nichts.

Beispiel

Gesucht ist die Lösung von

Schritt 1 und 2 — $x_1$ verschwindet aus $\mathrm{II}$ und $\mathrm{III}$:

$\mathrm{IIa} = \mathrm{II} + (-3)\cdot\mathrm{I}$ $\mathrm{IIIa} = \mathrm{III} + (-2)\cdot\mathrm{I}$

Schritt 3 — $x_2$ verschwindet aus der dritten Zeile. Damit ist die Stufenform erreicht:

$\mathrm{IIIb} = \mathrm{IIIa} + (-1)\cdot\mathrm{IIa}$

Schritt 4 — Rückwärtseinsetzen:

$$\begin{aligned} 4x_3 &= 8 &&\Rightarrow\; x_3 = 2 \\ 4x_2 - 7\cdot 2 &= -14 &&\Rightarrow\; x_2 = 0 \\ x_1 - 0 + 2\cdot 2 &= 5 &&\Rightarrow\; x_1 = 1 \end{aligned}$$

Die Lösung ist $(1;\,0;\,2)$. Zur Probe in die ursprüngliche zweite Gleichung einsetzen: $3\cdot 1 + 0 - 2 = 1$ ✓

Teste dich

Warum darf man eine Gleichung mit $5$ multiplizieren, aber niemals mit $0$?

Aus $2x=6$ wird mit $5$ die Gleichung $10x=30$ — dieselbe Lösung $x=3$.

Mit $0$ wird daraus $0=0$. Das ist zwar wahr, aber es gilt jetzt für jedes $x$: Die Gleichung sagt nichts mehr aus, die Information ist weg.

Dieses LGS ist schon in Stufenform. Wie lautet die Lösung? $$\begin{array}{rrcrcrcr} \mathrm{I} & x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 1 \\[2pt] \mathrm{IIa} & & & 3x_2 & + & 2x_3 & = & 13 \\[2pt] \mathrm{IIIb} & & & & & 4x_3 & = & 8 \end{array}$$

Von unten nach oben:

$$\begin{aligned} 4x_3 &= 8 &&\Rightarrow\; x_3 = 2 \\ 3x_2 + 2\cdot 2 &= 13 &&\Rightarrow\; x_2 = 3 \\ x_1 + 2\cdot 3 - 2 &= 1 &&\Rightarrow\; x_1 = -3 \end{aligned}$$

Lösung: $(-3;\,3;\,2)$.

In $\mathrm{I}$ steht vorn $2x_1$, in $\mathrm{III}$ steht vorn $-6x_1$. Mit welcher Umformung verschwindet $x_1$ aus $\mathrm{III}$?

Gesucht ist der Faktor $f$ mit $-6 + f\cdot 2 = 0$, also $f=3$:

$$\mathrm{IIIa} = \mathrm{III} + 3\cdot\mathrm{I}$$

Kurz: das Gegenteil der zu löschenden Zahl, geteilt durch die Zahl darüber.