Anzahl der Lösungen
In Lerneinheit 1 ging jedes System glatt auf. Das muss nicht sein: Manche Gleichungssysteme haben gar keine Lösung, andere unendlich viele. Ein Zwischending gibt es nicht.
Zwei Gleichungen mit zwei Variablen — jede ist eine Gerade. Gleichung \(\mathrm{I}\) steht fest, an \(\mathrm{II}\) darfst du drehen und schieben. Finde eine Einstellung, bei der es keinen Schnittpunkt gibt, und eine, bei der es unendlich viele gibt.
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Genau zwei oder genau fünf Lösungen sind unmöglich.
Welcher Fall vorliegt, sieht man der Stufenform an — man muss dazu nichts zeichnen:
| In der Stufenform steht … | … dann |
|---|---|
| irgendwo \(0 = b\) mit \(b \neq 0\) | keine Lösung — die Zeile ist für kein \(x\) erfüllbar |
| irgendwo \(0 = 0\), aber nirgends \(0 = b \neq 0\) | unendlich viele Lösungen — mindestens eine Variable ist frei wählbar |
| in jeder Zeile noch eine Variable | genau eine Lösung — rückwärts einsetzen |
Wichtig: Eine Zeile wie \(-x_3 = 0\) sieht harmlos aus, legt \(x_3\) aber auf \(0\) fest. Frei wählbar ist eine Variable erst, wenn ihre Zeile vollständig verschwunden ist.
Mit zwei Variablen ist jede Gleichung eine Gerade in der Ebene. Mit drei Variablen ist jede Gleichung eine Ebene im Raum. Drei Ebenen können sich in genau einem Punkt treffen, sich in einer ganzen Geraden schneiden oder keinen gemeinsamen Punkt haben — etwa wenn zwei von ihnen parallel liegen.
Diese Lagen kann man sich schwer vorstellen und noch schwerer zeichnen. Muss man auch nicht. Die Stufenform beantwortet die Frage rechnerisch, und zwar in jeder Dimension nach derselben Regel.
Zwei Systeme, die sich in einer einzigen Zahl unterscheiden — rechts unten steht einmal \(6\) und einmal \(5\):
a)
Gauß-Verfahren:
\(\mathrm{IIa} = \mathrm{II} + (-2)\cdot\mathrm{I}\) \(\mathrm{IIIa} = \mathrm{III} + (-1)\cdot\mathrm{I}\) \(\mathrm{IIIb} = \mathrm{IIIa} + 1\cdot\mathrm{IIa}\)
Die letzte Zeile heißt \(0 = 1\) — das ist für keine Zahl erfüllbar. Das LGS hat keine Lösung.
b) Dieselben linken Seiten, nur \(6\) wird zu \(5\):
Dieselben Umformungen liefern:
Jetzt heißt die letzte Zeile \(0 = 0\) — immer erfüllt. Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Man wählt \(x_3 = t\) frei und liest von unten nach oben ab:
$$\begin{aligned} x_3 &= t \\ x_2 &= -2 - 3t \\ x_1 &= 7 + 7t \end{aligned}$$
Für \(t=0\) ergibt das \((7;\,-2;\,0)\), für \(t=1\) ergibt es \((14;\,-5;\,1)\) — und so weiter für jedes \(t\).
Teste dich
Ordne jeder letzten Zeile einer Stufenform die richtige Folgerung zu.
Kann ein lineares Gleichungssystem genau zwei Lösungen haben?
Nein. Anschaulich: Zwei Geraden, die sich in zwei Punkten treffen, sind dieselbe Gerade — dann sind es sofort unendlich viele Schnittpunkte.
Rechnerisch dasselbe Bild: Gäbe es zwei verschiedene Lösungen, so wäre auch jeder Punkt „dazwischen“ eine Lösung, weil alle Gleichungen linear sind. Aus zwei Lösungen werden also sofort unendlich viele.
In der Stufenform steht in einer Zeile \(0 = 0\) und in einer anderen \(0 = 4\). Wie viele Lösungen hat das LGS?
Keine. Die Zeile \(0=0\) allein würde zwar auf unendlich viele Lösungen deuten, aber \(0 = 4\) ist für kein \(x\) erfüllbar.
Merke: Ein einziger Widerspruch reicht. Deshalb immer alle Zeilen anschauen, nicht nur die letzte.
Warum ändert das Gauß-Verfahren die Anzahl der Lösungen nicht?
Weil alle erlaubten Umformungen umkehrbar sind: Wer \(2\cdot\mathrm{I}\) zu \(\mathrm{II}\) addiert hat, kann es wieder abziehen.
Jede Lösung des alten Systems ist also auch eine Lösung des neuen — und umgekehrt. Die Stufenform ist dasselbe System, nur übersichtlicher aufgeschrieben.