Bestimmen ganzrationaler Funktionen
Bisher war der Term gegeben und du hast den Graphen untersucht. Jetzt andersherum: Von der Funktion ist nur ein Steckbrief bekannt — ein paar Punkte, eine Tangente, eine Wendestelle. Gesucht ist der Term.
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) — also vier Unbekannte. Tippe Eigenschaften an und beobachte, wann der Graph eindeutig festliegt.
Jede Eigenschaft wird zu einer Gleichung in \(a\), \(b\), \(c\), \(d\):
- Ansatz aufschreiben — den allgemeinen Term des geforderten Grades und, falls nötig, die Ableitungen.
- Übersetzen — jede Eigenschaft in eine Gleichung mit \(f\), \(f'\) oder \(f''\).
- LGS lösen — mit dem Gauß-Verfahren aus Lerneinheit 1.
- Probe — nachrechnen, ob wirklich ein Hoch-, Tief- oder Wendepunkt herauskommt.
Faustregel: Grad \(n\) heißt \(n+1\) Unbekannte, also brauchst du in der Regel \(n+1\) Bedingungen.
| Eigenschaft des Graphen | Gleichung |
|---|---|
| geht durch \(P(u\,|\,v)\) | \(f(u)=v\) |
| Nullstelle bei \(x=u\) | \(f(u)=0\) |
| waagerechte Tangente bei \(x=u\) | \(f'(u)=0\) |
| Hoch- oder Tiefpunkt \(E(u\,|\,v)\) | \(f(u)=v\) und \(f'(u)=0\) — zwei Gleichungen! |
| Wendestelle bei \(x=u\) | \(f''(u)=0\) |
| Steigung \(m\) an der Stelle \(u\) | \(f'(u)=m\) |
| symmetrisch zur \(y\)-Achse | nur gerade Hochzahlen im Term |
| punktsymmetrisch zum Ursprung | nur ungerade Hochzahlen im Term |
Die beiden Symmetrien sparen Arbeit: Sie setzen Koeffizienten von vornherein auf \(0\) und verkleinern damit das Gleichungssystem.
Gesucht ist die ganzrationale Funktion vom Grad \(2\), deren Graph den Hochpunkt \(H(1\,|\,4)\) hat und bei \(x=3\) eine Nullstelle.
1. Ansatz: \(f(x)=ax^2+bx+c\) und \(f'(x)=2ax+b\).
2. Übersetzen: \(f(1)=4\), \(f'(1)=0\), \(f(3)=0\).
3. LGS aufstellen und lösen:
\(\mathrm{IIa} = \mathrm{II} + (-2)\cdot\mathrm{I}\) \(\mathrm{IIIa} = \mathrm{III} + (-9)\cdot\mathrm{I}\) \(\mathrm{IIIb} = \mathrm{IIIa} + (-6)\cdot\mathrm{IIa}\)
Rückwärtseinsetzen:
$$\begin{aligned} 4c &= 12 &&\Rightarrow\; c = 3 \\ -b - 2\cdot 3 &= -8 &&\Rightarrow\; b = 2 \\ a + 2 + 3 &= 4 &&\Rightarrow\; a = -1 \end{aligned}$$
Also \(f(x)=-x^2+2x+3\).
4. Probe: \(f''(x)=-2 \lt 0\) — der Graph ist rechtsgekrümmt, bei \(x=1\) liegt also wirklich ein Hochpunkt. ✓
- Vier Bedingungen sind nicht immer vier GleichungenManche Bedingungen sagen dasselbe. Dann bleibt eine Variable frei — und es gibt unendlich viele Funktionen. Probier oben \(P(0\,|\,2)\) mit beiden waagerechten Tangenten und der Wendestelle.
- Manche Steckbriefe passen zu gar keiner FunktionDann liefert das LGS einen Widerspruch. Probier oben \(P(0\,|\,2)\), beide waagerechten Tangenten und die Nullstelle bei \(x=3\).
- \(f'(u)=0\) heißt noch nicht HochpunktDas gilt auch für Tief- und Sattelpunkte. Deshalb Schritt 4: die Probe mit \(f''\).
Teste dich
Wie viele Bedingungen brauchst du für eine ganzrationale Funktion vom Grad \(4\)?
Der Ansatz lautet \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) — das sind fünf Unbekannte, also in der Regel fünf Bedingungen.
Ist der Graph zusätzlich symmetrisch zur \(y\)-Achse, fallen \(b\) und \(d\) weg. Dann bleiben nur drei Unbekannte und drei Bedingungen genügen.
Ein Graph vom Grad \(3\) hat den Tiefpunkt \(T(2\,|\,-1)\). Wie viele Gleichungen liefert diese eine Angabe?
Zwei. Ein Tiefpunkt sagt zweierlei: Der Graph geht durch den Punkt und die Tangente dort ist waagerecht.
$$f(2)=-1 \qquad\text{und}\qquad f'(2)=0$$
Bei der Probe muss dann noch \(f''(2) \gt 0\) gelten, sonst ist es kein Tiefpunkt.
Du erhältst beim Lösen die Zeile \(0 = 3\). Was bedeutet das für den Steckbrief?
Die Bedingungen widersprechen sich: Es gibt keine ganzrationale Funktion vom gewählten Grad, die alle erfüllt.
Das ist kein Rechenfehler und keine Sackgasse — es ist eine vollständige Antwort. Mit einem höheren Grad kann es durchaus wieder eine Lösung geben.