Rückblick
Alles aus Kapitel V auf einen Blick — zum Wiederholen vor Test oder Prüfung.
Diese drei Umformungen lassen die Lösungsmenge unverändert, weil sie alle umkehrbar sind:
- Zeilen tauschenDie Reihenfolge der Gleichungen ist beliebig.
- Zeile mit \(c \neq 0\) multiplizierenBeide Seiten, dieselbe Zahl — nur die \(0\) ist verboten.
- Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addierenDer Schritt, mit dem Variablen verschwinden.
Für drei Gleichungen mit drei Variablen:
- Die erste Gleichung bleibt unverändert.
- Mit ihr \(x_1\) aus der zweiten und der dritten Gleichung entfernen.
- Mit der neuen zweiten Gleichung \(x_2\) aus der dritten entfernen.
- Die Stufenform von unten nach oben auflösen: \(x_3\), dann \(x_2\), dann \(x_1\) (Rückwärtseinsetzen).
Ziel des Verfahrens ist die Stufenform (\(\ast\) steht für irgendeine Zahl):
$$\begin{array}{rrcrcrcr} \mathrm{I} & \ast\,x_1 & + & \ast\,x_2 & + & \ast\,x_3 & = & \ast \\[2pt] \mathrm{IIa} & & & \ast\,x_2 & + & \ast\,x_3 & = & \ast \\[2pt] \mathrm{IIIb} & & & & & \ast\,x_3 & = & \ast \end{array}$$
Den Faktor liest man an der Zahl ab, die verschwinden soll: Steht in \(\mathrm{I}\) vorn \(2\) und in \(\mathrm{III}\) vorn \(-6\), so rechnet man \(\mathrm{III} + 3\cdot\mathrm{I}\). Enthält die erste Gleichung kein \(x_1\), tauscht man sie mit einer anderen.
Ein LGS hat genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen — nichts dazwischen. Welcher Fall vorliegt, steht in der Stufenform:
| In der Stufenform steht … | … dann |
|---|---|
| irgendwo \(0 = b\) mit \(b \neq 0\) | keine Lösung |
| irgendwo \(0 = 0\), aber nirgends \(0 = b \neq 0\) | unendlich viele Lösungen |
| in jeder Zeile noch eine Variable | genau eine Lösung |
Bei unendlich vielen Lösungen wählt man die freie Variable als Parameter, etwa \(x_3 = t\), und schreibt die anderen damit auf. Jedes \(t\) liefert eine Lösung.
Geometrisch: Mit zwei Variablen ist jede Gleichung eine Gerade, mit drei Variablen eine Ebene. Die Stufenform beantwortet die Frage rechnerisch — man muss sich die Lage der Ebenen nicht vorstellen.
- Ansatz mit dem geforderten Grad aufschreiben, dazu die nötigen Ableitungen.
- Jede Eigenschaft in eine Gleichung mit \(f\), \(f'\), \(f''\) übersetzen.
- Das entstehende LGS lösen (Gauß-Verfahren).
- Probe: Liegt wirklich ein Hoch-, Tief- bzw. Wendepunkt vor?
| Eigenschaft des Graphen | Gleichung |
|---|---|
| geht durch \(P(u\,|\,v)\) | \(f(u)=v\) |
| Nullstelle bei \(x=u\) | \(f(u)=0\) |
| waagerechte Tangente bei \(x=u\) | \(f'(u)=0\) |
| Hoch- oder Tiefpunkt \(E(u\,|\,v)\) | \(f(u)=v\) und \(f'(u)=0\) |
| Wendepunkt \(W(u\,|\,v)\) | \(f(u)=v\) und \(f''(u)=0\) |
| Steigung \(m\) an der Stelle \(u\) | \(f'(u)=m\) |
| symmetrisch zur \(y\)-Achse | nur gerade Hochzahlen |
| punktsymmetrisch zum Ursprung | nur ungerade Hochzahlen |
Grad \(n\) bedeutet \(n+1\) Unbekannte, also in der Regel \(n+1\) Bedingungen.
Gesucht: die ganzrationale Funktion vom Grad \(2\) mit Hochpunkt \(H(1\,|\,4)\) und einer Nullstelle bei \(x=3\).
Ansatz \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(f'(x)=2ax+b\). Die Bedingungen \(f(1)=4\), \(f'(1)=0\) und \(f(3)=0\) ergeben:
Gauß-Verfahren:
\(\mathrm{IIa} = \mathrm{II} + (-2)\cdot\mathrm{I}\) \(\mathrm{IIIa} = \mathrm{III} + (-9)\cdot\mathrm{I}\) \(\mathrm{IIIb} = \mathrm{IIIa} + (-6)\cdot\mathrm{IIa}\)
Rückwärtseinsetzen liefert \(c=3\), \(b=2\), \(a=-1\), also \(f(x)=-x^2+2x+3\). Probe: \(f''(x)=-2 \lt 0\) — bei \(x=1\) liegt wirklich ein Hochpunkt. ✓
- Nur die letzte Zeile anschauenEin Widerspruch \(0 = b\) kann in jeder Zeile stehen und schlägt alles andere.
- \(-x_3 = 0\) mit \(0 = 0\) verwechselnDie erste Zeile legt \(x_3=0\) fest, nur die zweite macht \(x_3\) frei.
- Ein Extrempunkt ist eine Angabe, aber zwei GleichungenPunkt und waagerechte Tangente.
- Die Probe weglassen\(f'(u)=0\) gilt auch für Tief- und Sattelpunkte. Erst \(f''\) entscheidet.