Die natürliche Exponentialfunktion und die Zahl \(e\)
Potenzen, Sinus, Wurzeln — ableiten kannst du das alles. Bei \(2^x\) steht das \(x\) aber im Exponenten, und keine Regel aus Kapitel I passt. Der Ausweg ist eine ganz bestimmte Basis.
Blau ist der Graph von \(f\) mit \(f(x)=b^x\), grün der Graph seiner Ableitung \(f'\). Schieb die Basis \(b\), bis beide Graphen zusammenfallen.
Es gibt genau eine Basis, bei der Graph und Ableitungsgraph zusammenfallen. Sie liegt zwischen \(2\) und \(3\) und heißt Euler’sche Zahl \(e\):
$$e = 2{,}718281828\ldots$$
Die Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^x\) heißt natürliche Exponentialfunktion. Für sie gilt:
$$f'(x)=f(x)=e^x$$
Weil sich beim Ableiten nichts ändert, gilt das auch für jede weitere Ableitung: \(f''(x)=e^x\), \(f'''(x)=e^x\), …
- Immer positivDer Graph verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse; es gibt keine Nullstelle.
- Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse\(Y(0\,|\,1)\), denn \(e^0=1\).
- Streng monoton wachsend\(f'(x)=e^x \gt 0\) für alle \(x\) — also weder Hoch- noch Tiefpunkt.
- Linksgekrümmt\(f''(x)=e^x \gt 0\) für alle \(x\) — also kein Wendepunkt.
- Waagerechte AsymptoteFür \(x \to -\infty\) strebt \(f(x)\) gegen \(0\), für \(x \to +\infty\) gegen \(+\infty\).
Mit den Regeln aus Kapitel I lässt sich jetzt jeder \(e\)-Term ableiten:
| Regel | \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|---|
| Grundfunktion | \(e^x\) | \(e^x\) |
| Faktorregel | \(c\cdot e^x\) | \(c\cdot e^x\) |
| Lineare Kettenregel | \(e^{mx+c}\) | \(m\cdot e^{mx+c}\) |
| Produktregel | \(u(x)\cdot e^{x}\) | \(\big(u(x)+u'(x)\big)\cdot e^{x}\) |
Nützlich beim Umformen: \(\dfrac{1}{e^x}=e^{-x}\).
a) \(f(x)=4e^x-x^2\) → \(f'(x)=4e^x-2x\)
b) \(f(x)=e^{3x-1}\): innere Funktion \(3x-1\), ihre Ableitung \(3\) kommt als Faktor nach vorn.
$$f'(x)=3\cdot e^{3x-1}$$
c) \(f(x)=x^2\cdot e^x\) mit der Produktregel (\(u=x^2\), \(v=e^x\)):
$$f'(x)=2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (x^2+2x)\cdot e^x$$
Teste dich
Wie lautet die Ableitung von \(f(x)=\tfrac12 e^{-2x}\)?
Lineare Kettenregel: der Faktor \(-2\) kommt nach vorn.
$$f'(x)=\tfrac12\cdot(-2)\cdot e^{-2x}=-e^{-2x}$$
Warum hat der Graph von \(f(x)=e^x\) keinen Hoch- oder Tiefpunkt?
Notwendig wäre \(f'(x)=0\). Es ist aber \(f'(x)=e^x\), und \(e^x\) ist für jedes \(x\) positiv — die Gleichung \(e^x=0\) hat keine Lösung.
Deshalb ist der Graph überall streng monoton wachsend.
Bestimme die Tangente an den Graphen von \(f(x)=e^x\) im Punkt \(P(0\,|\,1)\).
\(f'(0)=e^0=1\), also Steigung \(1\):
$$y = 1\cdot(x-0)+1 = x+1$$
Genau das macht \(e\) besonders: Die Steigung an einer Stelle ist immer so groß wie der Funktionswert dort.