Wirkung von Parametern
Steht im Funktionsterm neben \(x\) noch ein zweiter Buchstabe, beschreibt ein Term unendlich viele Funktionen auf einmal. Dieser Buchstabe heißt Parameter — und er verschiebt die auffälligen Punkte des Graphen ganz systematisch.
Alle grauen Graphen gehören zur selben Schar \(f_a\) mit \(f_a(x)=x\cdot e^{-ax}\). Schieb \(a\) und beobachte, wohin der Hochpunkt \(H\) wandert.
Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen \(x\) noch einen Parameter \(a\), so gehört zu jedem Wert von \(a\) eine eigene Funktion \(f_a\). Alle zusammen bilden eine Funktionsschar.
Beim Ableiten wird der Parameter wie eine feste Zahl behandelt:
$$\begin{aligned} f_a(x) &= e^{ax} \\ f_a'(x) &= a\,e^{ax} \\ f_a''(x) &= a^2 e^{ax} \end{aligned}$$
Die häufigsten Wirkungen
| Term | Wirkung einer Vergrößerung von \(a\) |
|---|---|
| \(e^{x-a}\) | Verschiebung nach rechts um \(a\) |
| \(e^{x}+a\) | Verschiebung nach oben um \(a\) |
| \(a\cdot e^{x}\) | Streckung in \(y\)-Richtung |
| \(e^{ax}\) | Der Graph wird steiler |
Gegeben ist für jede reelle Zahl \(a\) die Funktion \(f_a\) mit \(f_a(x)=(x-a)\cdot e^{x}\).
Ableiten mit der Produktregel, \(a\) bleibt dabei eine Zahl:
$$f_a'(x)=1\cdot e^{x}+(x-a)\cdot e^{x}=e^{x}\,(x-a+1)$$
$$f_a''(x)=e^{x}\,(x-a+1)+e^{x}=e^{x}\,(x-a+2)$$
Mögliche Extremstelle: \(e^x\) wird nie \(0\), also \(x-a+1=0\) und damit \(x=a-1\).
Art: \(f_a''(a-1)=e^{a-1}\cdot 1 \gt 0\) — es ist ein Tiefpunkt:
$$T\left(a-1\,\middle|\,-e^{\,a-1}\right)$$
Für jedes \(a\) also genau ein Tiefpunkt — seine Lage hängt vom Parameter ab.
Teste dich
Wie wirkt sich eine Vergrößerung von \(a\) bei \(f_a(x)=e^{x-a}\) aus?
Der Graph wird um \(a\) nach rechts verschoben. Für \(a=0\) erhält man den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion.
Leite \(f_k(x)=k\cdot e^{2kx}\) ab.
\(k\) ist eine Zahl, der innere Faktor ist \(2k\):
$$f_k'(x)=k\cdot 2k\cdot e^{2kx}=2k^{2}e^{2kx}$$
Für welches \(a\) geht der Graph von \(f_a(x)=x\cdot e^{-ax}\) durch \(P\!\left(2\,\middle|\,\tfrac{2}{e}\right)\)?
Punkt einsetzen: \(2\cdot e^{-2a}=\dfrac{2}{e}\), also \(e^{-2a}=e^{-1}\).
Gleiche Basis, also gleicher Exponent: \(-2a=-1\) und damit \(a=\tfrac12\).