Anwendungen von Exponentialfunktionen

Bakterien, Zinsen, radioaktiver Zerfall: Ändert sich ein Bestand pro Zeitschritt immer um denselben Faktor, wächst er exponentiell. Dann dauert jede Verdopplung gleich lang — egal, wo man anfängt zu messen.

Ausprobieren

Die orangen Balken zeigen, wie lange eine Verdopplung bzw. eine Halbierung dauert. Schieb den Faktor $a$ und achte darauf: Alle Balken bleiben gleich lang.

Bestand $f$ mit $f(t)=f(0)\cdot e^{kt}$ Eine Verdopplung bzw. Halbierung

Faktor $a$ 1,25

Merke · Exponentielles Wachstum

Ändert sich ein Bestand pro Zeiteinheit um denselben Faktor $a$, so gilt $f(t)=f(0)\cdot a^{t}$. Mit $a=e^{k}$, also $k=\ln(a)$, schreibt man denselben Bestand zur Basis $e$ — erst dann lässt er sich ableiten:

$$f(t)=f(0)\cdot e^{k\,t} \qquad\text{mit}\qquad k=\ln(a)$$

$a \gt 1$, also $k \gt 0$Zunahme. Die Verdopplungszeit ist $T_V=\dfrac{\ln(2)}{k}$.
$a \lt 1$, also $k \lt 0$Abnahme. Die Halbwertszeit ist $T_H=-\dfrac{\ln(2)}{k}$.
Aus zwei MesswertenAus $f(0)$ und $f(t_1)$ folgt $k=\dfrac{1}{t_1}\cdot\ln\!\left(\dfrac{f(t_1)}{f(0)}\right)$.

Beispiel · Halbwertszeit

Ein Medikament wird im Körper exponentiell abgebaut. Zu Beginn sind $200\,\text{mg}$ im Blut, nach $6$ Stunden noch $150\,\text{mg}$.

1. Wachstumsfunktion: Ansatz $f(t)=200\cdot e^{kt}$ mit $f(6)=150$:

$$\begin{aligned} 200\cdot e^{6k} &= 150 \\ e^{6k} &= 0{,}75 \\ k &= \tfrac16\ln(0{,}75)\approx -0{,}0479 \end{aligned}$$

2. Halbwertszeit:

$$T_H=-\frac{\ln(2)}{k}\approx\frac{0{,}693}{0{,}0479}\approx 14{,}5$$

Etwa alle $14{,}5$ Stunden halbiert sich die Menge.

3. Wann sind noch $50\,\text{mg}$ übrig?

$$\begin{aligned} 200\cdot e^{-0{,}0479\,t} &= 50 \\ e^{-0{,}0479\,t} &= 0{,}25 \\ t &= \frac{\ln(0{,}25)}{-0{,}0479}\approx 28{,}9 \end{aligned}$$

Nach knapp $29$ Stunden — genau zwei Halbwertszeiten.

Teste dich

Ein Bestand wächst pro Tag um $8\,\%$. Wie lautet $k$?

Pro Tag wird mit $a=1{,}08$ multipliziert, also

$$k=\ln(1{,}08)\approx 0{,}0770 \qquad f(t)=f(0)\cdot e^{0{,}077\,t}$$

Wie groß ist die Verdopplungszeit bei $f(t)=5\cdot e^{0{,}25\,t}$?

$$T_V=\frac{\ln(2)}{0{,}25}\approx 2{,}77$$

Der Anfangsbestand $5$ spielt dabei keine Rolle.

Warum hängt die Verdopplungszeit nicht vom Startwert ab?

Vergleicht man zwei Zeitpunkte, kürzt sich der Anfangsbestand heraus:

$$\frac{f(t+T)}{f(t)}=\frac{f(0)\,e^{k(t+T)}}{f(0)\,e^{kt}}=e^{kT}$$

Das Verhältnis hängt nur von $k$ und $T$ ab — deshalb sind im Schaubild alle orangen Balken gleich lang.