Rückblick · Exponentialfunktionen

Die natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion $f$ mit $f(x)=e^x$ hat als Basis die Euler’sche Zahl $e=2{,}71828\ldots$ Für sie gilt:

$$f'(x)=f(x)=e^x$$

Ihr Graph verläuft oberhalb der $x$-Achse, schneidet die $y$-Achse in $Y(0\,|\,1)$, ist streng monoton wachsend und linksgekrümmt. Für $x\to-\infty$ ist die $x$-Achse waagerechte Asymptote.

Regel	$f(x)$	$f'(x)$	Beispiel
Grundfunktion	$e^x$	$e^x$	$\left(e^x\right)'=e^x$
Faktorregel	$c\cdot e^x$	$c\cdot e^x$	$\left(5e^x\right)'=5e^x$
Lineare Kettenregel	$e^{mx+c}$	$m\cdot e^{mx+c}$	$\left(e^{-4x}\right)'=-4e^{-4x}$
Produktregel	$u(x)\cdot e^{x}$	$\big(u(x)+u'(x)\big)e^{x}$	$\left(x e^{x}\right)'=(1+x)e^{x}$

Zum Umformen: $\dfrac{1}{e^x}=e^{-x}$, $e^r\cdot e^s=e^{r+s}$, $\left(e^r\right)^s=e^{r\cdot s}$.

Natürlicher Logarithmus

Für $b \gt 0$ ist $\ln(b)$ die Lösung der Exponentialgleichung $e^x=b$:

$$e^x=b \quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln(b)$$

Für $b \gt 0$ und beliebiges $c$ gilt $e^{\ln(b)}=b$ und $\ln\!\left(e^{c}\right)=c$. Für $b \le 0$ gibt es keine Lösung, denn $e^x$ ist immer positiv.

Wichtige Werte: $\ln(1)=0$; $\ln(e)=1$; $\ln\!\left(\frac1e\right)=-1$; $\ln\!\left(\sqrt{e}\right)=\frac12$.

Beispiel: $e^{3x}=5 \;\Longleftrightarrow\; 3x=\ln(5) \;\Longleftrightarrow\; x=\frac13\ln(5)$.

Verhalten für $x\to\pm\infty$ — der $e$-Term setzt sich durch, $x^n$ bestimmt nur das Vorzeichen.

	$x \to -\infty$	$x \to +\infty$
$x^n\cdot e^{x}$	$\to 0$	$\to +\infty$
$x^n\cdot e^{-x}$	$\to +\infty$ für gerades $n$ $\to -\infty$ für ungerades $n$	$\to 0$

Nähert sich der Graph dabei der $x$-Achse, so ist $y=0$ eine waagerechte Asymptote.

Parameter

Enthält ein Funktionsterm außer $x$ noch einen Parameter $a$, gehört zu jedem Wert von $a$ eine eigene Funktion $f_a$. Beim Ableiten wird $a$ wie eine Zahl behandelt:

$$\begin{aligned} f_a(x) &= e^{ax} \\ f_a'(x) &= a\,e^{ax} \\ f_a''(x) &= a^2 e^{ax} \end{aligned}$$

Vergrößert man $a$, so wird der Graph von $e^{x-a}$ nach rechts verschoben, der von $e^{x}+a$ nach oben, der von $a\cdot e^{x}$ in $y$-Richtung gestreckt und der von $e^{ax}$ steiler.

Wachstum und Zerfall

Ändert sich ein Bestand pro Zeiteinheit um den Faktor $a$, so gilt

$$f(t)=f(0)\cdot a^{t}=f(0)\cdot e^{k\,t} \qquad k=\ln(a)$$

$a \gt 1$ bedeutet Zunahme ($k \gt 0$), $a \lt 1$ Abnahme ($k \lt 0$).

$$T_V=\frac{\ln(2)}{k} \qquad\qquad T_H=-\frac{\ln(2)}{k}$$

Aus zwei Messwerten: $k=\dfrac{1}{t_1}\cdot\ln\!\left(\dfrac{f(t_1)}{f(0)}\right)$.

Regel	\(f(x)\)	\(f'(x)\)	Beispiel
Grundfunktion	\(e^x\)	\(e^x\)	\(\left(e^x\right)'=e^x\)
Faktorregel	\(c\cdot e^x\)	\(c\cdot e^x\)	\(\left(5e^x\right)'=5e^x\)
Lineare Kettenregel	\(e^{mx+c}\)	\(m\cdot e^{mx+c}\)	\(\left(e^{-4x}\right)'=-4e^{-4x}\)
Produktregel	\(u(x)\cdot e^{x}\)	\(\big(u(x)+u'(x)\big)e^{x}\)	\(\left(x e^{x}\right)'=(1+x)e^{x}\)

	\(x \to -\infty\)	\(x \to +\infty\)
\(x^n\cdot e^{x}\)	\(\to 0\)	\(\to +\infty\)
\(x^n\cdot e^{-x}\)	\(\to +\infty\) für gerades \(n\) \(\to -\infty\) für ungerades \(n\)	\(\to 0\)