Exponentialfunktionen und ihre Graphen
In \(f(x)=x^3\cdot e^{-x}\) ziehen zwei Faktoren in verschiedene Richtungen: \(x^3\) wird immer größer, \(e^{-x}\) immer kleiner. Wer gewinnt?
Fahre über den Graphen. Unten siehst du beide Faktoren einzeln — und was aus ihrem Produkt wird.
Bei Funktionen der Form \(f(x)=x^n\cdot e^{x}\) oder \(f(x)=x^n\cdot e^{-x}\) entscheidet allein der \(e\)-Faktor, ob \(f(x)\) gegen \(0\) oder gegen \(\pm\infty\) strebt. Der Faktor \(x^n\) bestimmt dabei nur das Vorzeichen.
| \(x \to -\infty\) | \(x \to +\infty\) | |
|---|---|---|
| \(x^n\cdot e^{x}\) | \(\to 0\) | \(\to +\infty\) |
| \(x^n\cdot e^{-x}\) | \(\to +\infty\) für gerades \(n\) \(\to -\infty\) für ungerades \(n\) |
\(\to 0\) |
Nähert sich der Graph für \(x\to+\infty\) oder \(x\to-\infty\) der \(x\)-Achse an, so heißt die Gerade \(y=0\) waagerechte Asymptote des Graphen.
Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=3x\cdot e^{-0{,}5x}\).
Ableitungen (Produktregel, dazu die lineare Kettenregel):
$$f'(x)=3e^{-0{,}5x}\cdot(1-0{,}5x)$$
$$f''(x)=3e^{-0{,}5x}\cdot(0{,}25x-1)$$
Extrempunkt: \(f'(x)=0\). Da \(e^{-0{,}5x}\) nie \(0\) wird, bleibt \(1-0{,}5x=0\), also \(x=2\). Wegen \(f''(2)=-1{,}5e^{-1}\lt 0\) liegt ein Hochpunkt vor:
$$H\left(2\,\middle|\,\tfrac{6}{e}\right)\approx H(2\,|\,2{,}21)$$
Wendepunkt: \(f''(x)=0\) liefert \(0{,}25x-1=0\), also \(x=4\) mit Vorzeichenwechsel — \(W\left(4\,\middle|\,\tfrac{12}{e^2}\right)\approx W(4\,|\,1{,}62)\).
Verhalten: Für \(x\to+\infty\) gilt \(f(x)\to 0\); die \(x\)-Achse ist waagerechte Asymptote. Für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\).
Teste dich
Wogegen strebt \(f(x)=x^{2}\cdot e^{-x}\) für \(x\to+\infty\) und für \(x\to-\infty\)?
Für \(x\to+\infty\): \(f(x)\to 0\) — der Faktor \(e^{-x}\) setzt sich durch, \(y=0\) ist waagerechte Asymptote.
Für \(x\to-\infty\): \(e^{-x}\to+\infty\) und \(x^2 \gt 0\), also \(f(x)\to+\infty\).
Bestimme die Extremstelle von \(f(x)=x\cdot e^{-2x}\).
Produktregel: \(f'(x)=e^{-2x}-2x\cdot e^{-2x}=e^{-2x}(1-2x)\).
\(e^{-2x}\neq 0\), also \(1-2x=0\) und damit \(x=\tfrac12\).
\(f'\) wechselt dort von \(+\) nach \(-\): Hochpunkt \(H\left(\tfrac12\,\middle|\,\tfrac{1}{2e}\right)\approx H(0{,}5\,|\,0{,}18)\).
Hat der Graph von \(f(x)=x^{3}\cdot e^{-x}\) eine Nullstelle?
Ja, genau eine: Ein Produkt wird \(0\), wenn ein Faktor \(0\) wird. Da \(e^{-x}\neq 0\) ist, bleibt \(x^3=0\), also \(x=0\).