Exponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus

$e^x = 20$ — welches $x$ passt? Gesucht ist diesmal nicht der Wert einer Potenz, sondern der Exponent. Dafür gibt es einen eigenen Namen.

Ausprobieren

Schieb die Höhe $b$ der roten Geraden. Die Stelle des Schnittpunkts ist der gesuchte Exponent. Was passiert, wenn $b$ unter die $x$-Achse rutscht?

Graph von $f$ mit $f(x)=e^x$ Gerade $y=b$ — die rechte Seite der Gleichung

Höhe $b$ 4

Definition · Natürlicher Logarithmus

Für jede Zahl $b \gt 0$ ist $\ln(b)$ die Lösung der Exponentialgleichung $e^x=b$. Man nennt $\ln(b)$ den natürlichen Logarithmus von $b$:

$$e^x = b \quad\Longleftrightarrow\quad x = \ln(b)$$

$\ln$ macht also genau das rückgängig, was $e$ tut. Für $b \gt 0$ und beliebiges $c$ gilt deshalb:

$$e^{\ln(b)}=b \qquad\text{und}\qquad \ln\!\left(e^{c}\right)=c$$

Für $b \le 0$ gibt es keine Lösung: $e^x$ ist immer positiv.

Werte, die man kennen sollte

$b$	$1$	$e$	$\frac{1}{e}$	$\sqrt{e}$	$e^{5}$
$\ln(b)$	$0$	$1$	$-1$	$\frac{1}{2}$	$5$

Zum Umformen helfen die Potenzgesetze: $e^r\cdot e^s = e^{r+s}$, $\dfrac{e^r}{e^s}=e^{r-s}$ und $\left(e^r\right)^s=e^{r\cdot s}$.

Tipp

Erinnerst du dich an den Faktor aus Lerneinheit 1? Der Ableitungsgraph von $b^x$ war immer ein gestreckter Graph von $b^x$ — und dieser Faktor ist genau $\ln(b)$:

$$\left(b^x\right)' = \ln(b)\cdot b^x$$

Für $b=e$ ist $\ln(e)=1$. Deshalb — und nur deshalb — ist $e^x$ seine eigene Ableitung.

Beispiel · Gleichungen lösen

a) $e^{4x}=7$. Beide Seiten mit $\ln$ „auspacken“:

$$4x=\ln(7) \quad\Longleftrightarrow\quad x=\tfrac14\ln(7)\approx 0{,}486$$

b) $3\cdot e^{0{,}5x}-4=11$. Erst die Potenz freistellen:

$$\begin{aligned} e^{0{,}5x} &= 5 \\ 0{,}5x &= \ln(5) \\ x &= 2\ln(5)\approx 3{,}219 \end{aligned}$$

c) $e^{2x}-5e^{x}=0$. Hier hilft Ausklammern:

$$e^{x}\cdot\left(e^{x}-5\right)=0$$

Ein Produkt ist $0$, wenn ein Faktor $0$ ist. Da $e^x$ nie $0$ wird, bleibt $e^x=5$, also $x=\ln(5)\approx 1{,}609$.

d) $e^{-x}=-4$ hat keine Lösung, denn $e^{-x}$ ist für jedes $x$ positiv.

Teste dich

Vereinfache $\ln\!\left(e^{4}\cdot e^{-1}\right)$.

Erst das Potenzgesetz, dann $\ln\!\left(e^c\right)=c$:

$$\ln\!\left(e^{4}\cdot e^{-1}\right)=\ln\!\left(e^{3}\right)=3$$

Löse $e^{2x+1}=6$.

$$2x+1=\ln(6) \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{\ln(6)-1}{2}\approx 0{,}396$$

Warum hat $e^{x}=0$ keine Lösung?

Der Graph von $e^x$ verläuft komplett oberhalb der $x$-Achse. Für $x\to-\infty$ kommt er ihr beliebig nahe, erreicht sie aber nie. Deshalb ist $\ln(0)$ nicht definiert — genauso wenig wie $\ln$ einer negativen Zahl.

\(b\)	\(1\)	\(e\)	\(\frac{1}{e}\)	\(\sqrt{e}\)	\(e^{5}\)
\(\ln(b)\)	\(0\)	\(1\)	\(-1\)	\(\frac{1}{2}\)	\(5\)