Rekonstruieren einer Größe

Vom Bestand zur Änderungsrate kommst du durch Ableiten. Jetzt geht es rückwärts: Gegeben ist nur, wie schnell etwas zufließt oder abfließt — gesucht ist der Bestand.

Ausprobieren

Ein Tank enthält zu Beginn $12$ Liter. Der blaue Graph zeigt nicht die Menge im Tank, sondern die Zuflussrate $z$ — also wie viele Liter pro Minute gerade fließen. Lege Rechteckstreifen unter den Graphen und mach sie immer schmaler.

Zuflussrate $z$ mit $z(t)=0{,}24\,(5-t)(t+2)$ Streifen über der Achse: Zufluss, zählt $+$ Streifen unter der Achse: Abfluss, zählt $-$

Streifen $n$ 4

Merke · Orientierter Flächeninhalt

Jeder Streifen ist $\text{Höhe}\cdot\text{Breite}$ — also $\frac{\text{Liter}}{\text{Minute}}\cdot\text{Minuten}=\text{Liter}$. Ein Streifen misst damit die Menge, die in dieser kurzen Zeit fließt.

Über der $x$-AchseDie Rate ist positiv, es fließt zu. Der Flächeninhalt zählt positiv.
Unter der $x$-AchseDie Rate ist negativ, es fließt ab. Der Flächeninhalt zählt negativ.

So gerechnet heißt die Zahl orientierter Flächeninhalt. Sie ist die Gesamtänderung der Größe:

$$\text{Bestand am Ende} = \text{Bestand am Anfang} + \text{orientierter Flächeninhalt}$$

Zählt man alle Teilflächen dagegen ohne Vorzeichen, erhält man den insgesamt geflossenen Durchsatz — oben $11+4=15$ Liter durch die Leitung, während im Tank nur $11-4=7$ Liter mehr sind.

Beispiel · Geradlinige Ränder

Ein Speicher enthält zu Beginn $40\ \text{m}^3$. Die Zuflussrate (in $\text{m}^3$ pro Stunde) verläuft geradlinig, die Fläche zerfällt daher in Rechtecke und Dreiecke:

Stunde $0$ bis $2$: konstant $6$Rechteck: $A_1 = 6\cdot 2 = 12$
Stunde $2$ bis $5$: fällt von $6$ auf $0$Dreieck: $A_2 = \tfrac12\cdot 3\cdot 6 = 9$
Stunde $5$ bis $8$: konstant $-2$Rechteck unter der Achse: $A_3 = -2\cdot 3 = -6$

Gesamtänderung:

$$12 + 9 - 6 = 15$$

Nach $8$ Stunden sind also $40 + 15 = 55\ \text{m}^3$ im Speicher. Durch das Rohr geflossen sind dagegen $12+9+6=27\ \text{m}^3$.

Tipp · Ein Kästchen hat eine Einheit

Was ein Kästchen im Schaubild bedeutet, verrät die Rechnung $\text{Höhe}\cdot\text{Breite}$ mit den Einheiten der beiden Achsen. Steht auf der Hochachse $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und auf der Rechtsachse $\text{s}$, so ist ein Kästchen der Größe $1\times 1$ genau $1\ \text{m}$ — die Fläche misst hier also einen Weg.

Teste dich

Ein Radfahrer fährt $4$ Minuten lang konstant $300\ \frac{\text{m}}{\text{min}}$. Wie weit kommt er?

Der Graph der Geschwindigkeit ist eine waagerechte Strecke, die eingeschlossene Fläche ein Rechteck:

$$300\ \tfrac{\text{m}}{\text{min}} \cdot 4\ \text{min} = 1200\ \text{m}$$

Die Fläche unter dem Graphen der Geschwindigkeit ist der zurückgelegte Weg.

Eine Zuflussrate ist im Zeitraum $[0;\,3]$ durchweg negativ. Was heißt das für den Bestand?

Die Fläche liegt vollständig unter der $x$-Achse, der orientierte Flächeninhalt ist also negativ.

Der Bestand nimmt ab. Wie stark, sagt der Betrag des orientierten Flächeninhalts.

Der orientierte Flächeninhalt einer Zuflussrate über $[0;\,6]$ ist $0$. Ist dann nichts geflossen?

Nein. $0$ heißt nur: Zufluss und Abfluss sind gleich groß. Der Bestand am Ende ist derselbe wie am Anfang.

Geflossen ist trotzdem etwas — nämlich die Summe der Flächeninhalte ohne Vorzeichen.