Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
Streifen summieren ist genau, aber mühsam. Jetzt kommt die Abkürzung — und sie ist eine Überraschung: Integrieren ist Ableiten rückwärts.
Oben wächst die blaue Fläche, wenn du \(x\) nach rechts schiebst. Unten wird ihr Zahlenwert als Höhe eingetragen — Punkt für Punkt entsteht so ein neuer Graph. Achte darauf: Wo \(f\) groß ist, steigt der untere Graph steil.
Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\) im Intervall \(I\), wenn dort überall gilt:
$$F'(x) = f(x)$$
Der untere Graph oben ist genau so eine Funktion: Seine Steigung an jeder Stelle ist der Funktionswert von \(f\) an dieser Stelle.
Ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) im Intervall \([a;\,b]\), so gilt:
$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$$
Beim Rechnen schreibt man die Stammfunktion in eckige Klammern und setzt die Grenzen an den Rand:
$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$
Aus einem Flächenproblem wird damit eine Subtraktion zweier Funktionswerte. Kein Abzählen mehr.
Ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), so ist auch \(G\) mit \(G(x)=F(x)+c\) eine — denn eine Konstante fällt beim Ableiten weg. Zu \(f(x)=3x^2\) sind also \(x^3\), \(x^3+5\) und \(x^3-8\) alle Stammfunktionen.
Für das Integral spielt das keine Rolle, weil \(c\) in der Differenz wieder verschwindet:
$$\big(F(b)+c\big)-\big(F(a)+c\big) = F(b)-F(a)$$
Beim Integrieren darf man deshalb irgendeine Stammfunktion nehmen — am besten die mit \(c=0\).
a) \(\displaystyle\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x\). Eine Stammfunktion von \(f(x)=3x^2\) ist \(F(x)=x^3\), denn \(\left(x^3\right)'=3x^2\):
$$\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x = \Big[x^3\Big]_0^2 = 2^3 - 0^3 = 8$$
b) \(\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,\mathrm{d}x\) mit \(F(x)=x^2+x\):
$$\int_1^3 (2x+1)\,\mathrm{d}x = \Big[x^2+x\Big]_1^3 = (9+3)-(1+1) = 10$$
c) Probe zu a) mit einer anderen Stammfunktion — \(G(x)=x^3+5\):
$$\Big[x^3+5\Big]_0^2 = (8+5)-(0+5) = 8$$
Dasselbe Ergebnis. Die \(5\) hat sich weggehoben.
Teste dich
Berechne \(\displaystyle\int_0^2 4x^3\,\mathrm{d}x\).
Gesucht ist ein \(F\) mit \(F'(x)=4x^3\). Das ist \(F(x)=x^4\):
$$\int_0^2 4x^3\,\mathrm{d}x = \Big[x^4\Big]_0^2 = 16 - 0 = 16$$
Ist \(F\) mit \(F(x)=x^3+7\) eine Stammfunktion von \(f\) mit \(f(x)=3x^2\)?
Die Probe ist immer dieselbe: ableiten und vergleichen.
$$F'(x) = 3x^2 = f(x)$$
Ja. Die \(+7\) verschwindet beim Ableiten — deshalb ist sie erlaubt.
Bestimme diejenige Stammfunktion \(F\) von \(f\) mit \(f(x)=2x\), für die \(F(2)=5\) gilt.
Alle Stammfunktionen haben die Form \(F(x)=x^2+c\). Jetzt wird \(c\) so bestimmt, dass der Graph durch den Punkt \(P(2\,|\,5)\) geht:
$$\begin{aligned} F(2) &= 2^2 + c = 5 \\ c &= 1 \end{aligned}$$
Gesucht war also \(F\) mit \(F(x)=x^2+1\).