Bestimmen von Stammfunktionen
Der Hauptsatz braucht eine Stammfunktion — also eine Funktion, die abgeleitet wieder \(f\) ergibt. Suchen musst du sie nicht: Für jede Ableitungsregel gibt es eine Regel rückwärts.
Blau ist das Ziel \(f\). Grün ist die Ableitung deines Kandidaten \(F(x)=\frac{1}{k}\,x^{m}\). Stell \(m\) und \(k\) so ein, dass Grün genau auf Blau liegt — dann ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).
Beim Ausprobieren hast du zweimal dieselbe Zahl gebraucht: \(m=k=r+1\). Genau das ist die Regel — Hochzahl um \(1\) erhöhen, dann durch die neue Hochzahl teilen:
$$f(x)=x^{r} \quad\Longrightarrow\quad F(x)=\frac{1}{r+1}\,x^{r+1} \qquad (r \neq -1)$$
Die Probe ist immer dasselbe: \(F\) ableiten und mit \(f\) vergleichen.
Warum \(r \neq -1\)? Für \(f(x)=\frac1x=x^{-1}\) wäre die neue Hochzahl \(0\) und man müsste durch \(0\) teilen. Diesen einen Fall lässt die Potenzregel offen.
\(G\) und \(H\) sind Stammfunktionen von \(g\) und \(h\). Dann gilt:
| Regel | \(f(x)\) | Stammfunktion \(F(x)\) |
|---|---|---|
| Potenzregel (\(r\neq-1\)) | \(x^{r}\) | \(\frac{1}{r+1}\,x^{r+1}\) |
| Faktorregel | \(c\cdot g(x)\) | \(c\cdot G(x)\) |
| Summenregel | \(g(x)+h(x)\) | \(G(x)+H(x)\) |
| Lineare Substitution | \(g(mx+c)\) | \(\frac{1}{m}\,G(mx+c)\) |
Die lineare Substitution ist die Kettenregel rückwärts: Beim Ableiten käme die innere Ableitung \(m\) als Faktor nach vorn — deshalb wird vorher durch \(m\) geteilt.
| \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(x\) | \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) |
| \(x\) | \(\frac12 x^2\) | \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) |
| \(x^2\) | \(\frac13 x^3\) | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) |
| \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) | \(-\frac1x\) | \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\) | \(\frac23\sqrt{x^3}\) |
a) \(f(x)=6x^5\) — Faktor stehen lassen, Potenzregel auf \(x^5\):
$$F(x)=6\cdot\tfrac16 x^{6}=x^{6}$$
b) \(f(x)=4x^3-2x+5\) — summandenweise:
$$F(x)=x^{4}-x^{2}+5x$$
c) \(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac12}\) — die Hochzahl wird \(\frac12+1=\frac32\), der Kehrwert davon ist \(\frac23\):
$$F(x)=\tfrac23 x^{\frac32}=\tfrac23\sqrt{x^3}$$
d) \(f(x)=\sin(2x)\) — lineare Substitution mit \(m=2\):
$$F(x)=\tfrac12\cdot\big(-\cos(2x)\big)=-\tfrac12\cos(2x)$$
e) \(f(x)=e^{3x-1}\) — lineare Substitution mit \(m=3\):
$$F(x)=\tfrac13 e^{3x-1}$$
Teste dich
Gib eine Stammfunktion von \(f\) mit \(f(x)=x^{5}\) an.
Hochzahl um \(1\) erhöhen, durch die neue Hochzahl teilen:
$$F(x)=\tfrac16 x^{6}$$
Probe: \(F'(x)=\tfrac16\cdot 6x^{5}=x^{5}\) ✓
Gib eine Stammfunktion von \(f\) mit \(f(x)=e^{4x}\) an.
Lineare Substitution: innere Funktion \(4x\), also durch \(4\) teilen.
$$F(x)=\tfrac14 e^{4x}$$
Probe: \(F'(x)=\tfrac14\cdot 4\cdot e^{4x}=e^{4x}\) ✓
Warum liefert die Potenzregel für \(f\) mit \(f(x)=\frac1x\) keine Stammfunktion?
Es ist \(\frac1x = x^{-1}\), also \(r=-1\). Die Regel verlangt den Faktor \(\frac{1}{r+1}\):
$$\frac{1}{-1+1}=\frac{1}{0}$$
Durch \(0\) darf man nicht teilen — deshalb steht bei der Potenzregel immer die Bedingung \(r \neq -1\).