Rückblick
Alles aus Kapitel III auf einen Blick — zum Wiederholen vor Test oder Prüfung.
\(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) ist der orientierte Flächeninhalt, den der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse zwischen \(a\) und \(b\) einschließt. Flächen über der Achse zählen positiv, Flächen darunter negativ.
Ist \(f\) die Änderungsrate einer Größe \(F\), so ist das Integral die Gesamtänderung von \(F\) im Intervall \([a;\,b]\):
$$\text{Bestand am Ende} = \text{Bestand am Anfang} + \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$$
Bei geradlinigen Graphen zerlegt man die Fläche in Rechtecke und Dreiecke; bei krummlinigen nähert man sie durch immer schmalere Rechteckstreifen an.
\(F\) heißt Stammfunktion von \(f\) im Intervall \(I\), wenn dort überall \(F'(x)=f(x)\) gilt.
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:
$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$
Mit \(F\) ist auch \(G\) mit \(G(x)=F(x)+c\) eine Stammfunktion. Für das Integral ist das egal, weil \(c\) sich in der Differenz weghebt — man nimmt am besten die Stammfunktion mit \(c=0\).
Soll die Stammfunktion durch einen bestimmten Punkt gehen, setzt man diesen in \(F(x)+c\) ein und löst nach \(c\) auf.
Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen — \(G\) und \(H\) sind Stammfunktionen von \(g\) und \(h\).
| Regel | \(f(x)\) | \(F(x)\) | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Potenzregel (\(r\neq-1\)) | \(x^{r}\) | \(\frac{1}{r+1}x^{r+1}\) | \(x^4 \to \frac15x^5\) |
| Faktorregel | \(c\cdot g(x)\) | \(c\cdot G(x)\) | \(6x^2 \to 2x^3\) |
| Summenregel | \(g(x)+h(x)\) | \(G(x)+H(x)\) | \(x+e^x \to \frac12x^2+e^x\) |
| Lineare Substitution | \(g(mx+c)\) | \(\frac{1}{m}G(mx+c)\) | \(e^{2x} \to \frac12 e^{2x}\) |
Stammfunktionen der Grundfunktionen
| \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(x\) | \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) |
| \(x\) | \(\frac12x^2\) | \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) |
| \(x^2\) | \(\frac13x^3\) | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) |
| \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) | \(-\frac1x\) | \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\) | \(\frac23\sqrt{x^3}\) |
Der Funktionswert von \(f\) ist die Steigung von \(F\). Daraus folgt:
| \(f\) hat an der Stelle … | … dann hat \(F\) dort |
|---|---|
| Nullstelle mit VZW von \(+\) nach \(-\) | eine Maximumstelle |
| Nullstelle mit VZW von \(-\) nach \(+\) | eine Minimumstelle |
| Nullstelle ohne VZW | eine Sattelstelle |
| eine Extremstelle | eine Wendestelle |
\(f(x) \gt 0\) auf einem Intervall bedeutet: \(F\) ist dort streng monoton steigend. \(f(x) \lt 0\) bedeutet: \(F\) ist dort streng monoton fallend.
Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse über \([a;\,b]\):
- 1. Nullstellen von \(f\) in \([a;\,b]\) bestimmenSie zerlegen das Intervall in Teilintervalle.
- 2. Integrale über den Teilintervallen berechnenJeweils mit dem Hauptsatz.
- 3. Beträge addieren\(A = \left|\int_a^s\right| + \left|\int_s^b\right| + \ldots\)
Fläche zwischen zwei Graphen — gilt \(f(x)\ge g(x)\) auf \([a;\,b]\), so ist
$$A = \int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x$$
also oben minus unten. Schneiden sich die Graphen im Intervall, so berechnet man zuerst die Schnittstellen aus \(f(x)=g(x)\) und dann die Teilflächen einzeln.
Integral und Flächeninhalt sind nicht dasselbe. Das Integral kann negativ oder \(0\) sein, ein Flächeninhalt nie.
Steht in der Aufgabe „berechnen Sie das Integral“, wird einfach integriert. Steht dort „berechnen Sie den Inhalt der Fläche“, musst du vorher die Nullstellen suchen.