Stammfunktionen und ihre Graphen
Rechnen musst du dafür gar nichts: Wenn du nur den Graphen von \(f\) siehst, kannst du den Graphen von \(F\) skizzieren. Es ist grafisches Ableiten — nur in die andere Richtung.
Fahr mit dem Regler durch das Schaubild und lies mit: Solange \(f\) oben über der Achse liegt, steigt \(F\) unten. Liegt \(f\) darunter, fällt \(F\). Schalte danach die besonderen Stellen ein.
Weil \(F'(x)=f(x)\) gilt, ist der Funktionswert von \(f\) die Steigung von \(F\). Daraus folgt alles Weitere:
| \(f\) hat an der Stelle … | … dann hat \(F\) dort |
|---|---|
| Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) | eine Maximumstelle (Hochpunkt) |
| Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) | eine Minimumstelle (Tiefpunkt) |
| Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel | eine Sattelstelle |
| eine Extremstelle | eine Wendestelle |
Und für ganze Intervalle:
- \(f(x) \gt 0\) im Intervall\(F\) ist dort streng monoton steigend.
- \(f(x) \lt 0\) im Intervall\(F\) ist dort streng monoton fallend.
Eine einzelne Stelle mit Steigung \(0\) unterbricht das Monotonieverhalten nicht — dort liegt eine Sattelstelle, und \(F\) steigt danach weiter.
Es gibt nicht den Graphen von \(F\), sondern unendlich viele: Jede Konstante \(c\) verschiebt den ganzen Graphen nach oben oder unten. Die Form bleibt dabei gleich, und nur um die geht es hier. Erst eine Zusatzbedingung wie \(F(0)=2\) legt einen einzelnen Graphen fest.
Der Graph von \(f\) mit \(f(x)=3x^2-3\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(x=-1\) und \(x=1\) sowie einem Tiefpunkt bei \(x=0\). Was folgt für \(F\) mit \(F(x)=x^3-3x\)?
- \(x=-1\): Nullstelle, Vorzeichenwechsel \(+\) nach \(-\)\(F\) hat einen Hochpunkt: \(F(-1)=-1+3=2\), also \(H(-1\,|\,2)\).
- \(x=1\): Nullstelle, Vorzeichenwechsel \(-\) nach \(+\)\(F\) hat einen Tiefpunkt: \(F(1)=1-3=-2\), also \(T(1\,|\,-2)\).
- \(x=0\): Extremstelle von \(f\)\(F\) hat dort eine Wendestelle: \(F(0)=0\), also \(W(0\,|\,0)\).
Zwischen \(-1\) und \(1\) ist \(f(x) \lt 0\), dort fällt \(F\). Außerhalb ist \(f(x) \gt 0\), dort steigt \(F\).
Teste dich
\(f\) hat bei \(x=2\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\). Was hat \(F\) dort?
Links von \(2\) ist \(f(x) \lt 0\), also fällt \(F\). Rechts von \(2\) ist \(f(x) \gt 0\), also steigt \(F\).
Aus fallend wird steigend: \(F\) hat bei \(x=2\) eine Minimumstelle, der Graph also einen Tiefpunkt.
\(f\) hat bei \(x=3\) einen Hochpunkt. Was lässt sich über \(F\) sagen?
Der Funktionswert von \(f\) ist die Steigung von \(F\). Wo \(f\) maximal ist, ist also die Steigung von \(F\) maximal.
Dort ändert sich das Krümmungsverhalten: \(F\) hat bei \(x=3\) eine Wendestelle.
Der Graph von \(f\) liegt auf \([0;\,4]\) vollständig über der \(x\)-Achse und berührt sie bei \(x=2\). Fällt \(F\) irgendwo?
Nein. Es ist \(f(x) \gt 0\) auf ganz \([0;\,4]\) — bis auf die einzelne Stelle \(x=2\) mit \(f(2)=0\).
Dort ist die Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel: \(F\) hat eine Sattelstelle, die Tangente ist kurz waagerecht — und danach steigt \(F\) weiter. \(F\) ist auf \([0;\,4]\) streng monoton steigend.