Integral und Flächeninhalt
Ein Integral darf negativ sein, ein Flächeninhalt nie. Solange der Graph die \(x\)-Achse kreuzt, sind es deshalb zwei verschiedene Zahlen — und genau darum geht es hier.
Die untere Grenze ist fest bei \(a=0\). Schieb die obere Grenze \(b\) und vergleiche die beiden Zahlen unten. Finde das \(b\), bei dem das Integral genau \(0\) ist — der Flächeninhalt ist es dann ganz sicher nicht.
Ein Flächeninhalt ist immer positiv. Kreuzt der Graph im Intervall die \(x\)-Achse, so würden sich positive und negative Anteile im Integral gegenseitig auffressen. Deshalb wird vorher geteilt:
- 1. Nullstellen bestimmenAlle Lösungen von \(f(x)=0\) im Intervall \([a;\,b]\) berechnen.
- 2. Teilintegrale berechnenÜber jedem Teilintervall zwischen zwei benachbarten Grenzen einzeln integrieren.
- 3. Beträge addierenVon jedem Teilintegral den Betrag nehmen und alle addieren.
Liegt der Graph im Intervall vollständig über der \(x\)-Achse, entfällt die Aufteilung und es gilt einfach \(A=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\). Liegt er vollständig darunter, ist \(A=\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right|\).
Gesucht ist der Inhalt der Fläche, die der Graph von \(f\) mit \(f(x)=x^2-1\) über \([0;\,2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
1. Nullstellen: \(x^2-1=0\) liefert \(x=-1\) und \(x=1\). Im Intervall liegt nur \(x=1\).
2. Teilintegrale mit \(F(x)=\frac13x^3-x\):
$$\begin{aligned} \int_0^1 (x^2-1)\,\mathrm{d}x &= \Big[\tfrac13x^3-x\Big]_0^1 = \tfrac13-1 = -\tfrac23 \\ \int_1^2 (x^2-1)\,\mathrm{d}x &= \Big[\tfrac13x^3-x\Big]_1^2 = \tfrac23-\left(-\tfrac23\right) = \tfrac43 \end{aligned}$$
3. Beträge addieren:
$$A = \left|-\tfrac23\right| + \left|\tfrac43\right| = \tfrac23+\tfrac43 = 2$$
Der Flächeninhalt ist \(2\) FE. Das Integral über \([0;\,2]\) wäre dagegen nur \(-\frac23+\frac43=\frac23\).
Wird eine Fläche über \([a;\,b]\) von den Graphen zweier Funktionen \(f\) und \(g\) begrenzt und gilt dort \(f(x) \ge g(x)\), so ist
$$A = \int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x$$
Man integriert also oben minus unten. Ob die Graphen dabei über oder unter der \(x\)-Achse liegen, spielt keine Rolle — die Differenz misst nur den senkrechten Abstand.
Schneiden sich die Graphen innerhalb des Intervalls, wechselt dort „oben“ und „unten“. Dann werden erst die Schnittstellen aus \(f(x)=g(x)\) berechnet und die Teilflächen wieder einzeln bestimmt.
Gesucht ist der Inhalt der Fläche, die die Graphen von \(f\) mit \(f(x)=4-x^2\) und \(g\) mit \(g(x)=x+2\) einschließen.
1. Schnittstellen aus \(f(x)=g(x)\):
$$\begin{aligned} 4-x^2 &= x+2 \\ 0 &= x^2+x-2 \\ x_1 &= -2, \qquad x_2 = 1 \end{aligned}$$
2. Zwischen \(-2\) und \(1\) verläuft der Graph von \(f\) oben, also \(f-g\) integrieren:
$$\begin{aligned} A &= \int_{-2}^{1}\big(4-x^2-(x+2)\big)\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{-2}^{1}\big(2-x-x^2\big)\,\mathrm{d}x \\ &= \Big[2x-\tfrac12x^2-\tfrac13x^3\Big]_{-2}^{1} \\ &= \tfrac76 - \left(-\tfrac{10}{3}\right) = \tfrac92 \end{aligned}$$
Die Fläche ist \(4{,}5\) FE groß.
Teste dich
Warum ist \(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\,\mathrm{d}x\) nicht der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse?
Rechnen wir es aus, mit \(F(x)=\frac14x^4\):
$$\int_{-1}^{1} x^3\,\mathrm{d}x = \Big[\tfrac14x^4\Big]_{-1}^{1} = \tfrac14-\tfrac14 = 0$$
Der Graph hat bei \(x=0\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel: Links liegt gleich viel Fläche unter der Achse wie rechts darüber. Im Integral heben sie sich auf.
Für den Flächeninhalt teilt man bei \(0\) und addiert die Beträge:
$$A = \left|-\tfrac14\right| + \left|\tfrac14\right| = \tfrac12$$
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) mit \(f(x)=x^2\), der \(x\)-Achse und den Geraden \(x=0\) und \(x=3\).
Auf \([0;\,3]\) ist \(f(x)\ge 0\), der Graph liegt also nicht unter der Achse. Es gibt nichts aufzuteilen:
$$A = \int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \Big[\tfrac13x^3\Big]_0^3 = 9 - 0 = 9$$
Der Flächeninhalt beträgt \(9\) FE.
Welchen Inhalt hat die Fläche zwischen den Graphen von \(f\) mit \(f(x)=x^2\) und \(g\) mit \(g(x)=4\)?
1. Schnittstellen: \(x^2=4\) liefert \(x=-2\) und \(x=2\).
2. Zwischen \(-2\) und \(2\) verläuft die Gerade oben, also \(g-f\):
$$\begin{aligned} A &= \int_{-2}^{2}\big(4-x^2\big)\,\mathrm{d}x = \Big[4x-\tfrac13x^3\Big]_{-2}^{2} \\ &= \tfrac{16}{3} - \left(-\tfrac{16}{3}\right) = \tfrac{32}{3} \end{aligned}$$
Also \(A=\frac{32}{3}\approx 10{,}67\) FE.