Das Integral als orientierter Flächeninhalt

Streifen abzählen ist mühsam, und für krumme Ränder hört es nie auf. Für „der orientierte Flächeninhalt zwischen $a$ und $b$“ gibt es deshalb ein eigenes Zeichen — und ab jetzt einen eigenen Namen.

Ausprobieren

Schieb die Grenzen $a$ und $b$. Grün liegt über der $x$-Achse und zählt positiv, rot liegt darunter und zählt negativ. Findest du zwei Grenzen, bei denen das Integral $0$ ist, obwohl viel Fläche gefärbt ist?

Graph von $f$ mit $f(x)=0{,}5x^2-2$ Fläche über der Achse, zählt $+$ Fläche unter der Achse, zählt $-$

Grenze $a$ -3

Grenze $b$ 3

Definition · Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral von $f$ über dem Intervall $[a;\,b]$ ist der orientierte Flächeninhalt, den der Graph von $f$ mit der $x$-Achse zwischen der unteren Grenze $a$ und der oberen Grenze $b$ einschließt. Man schreibt:

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

$a$ und $b$untere und obere Grenze — sie legen fest, welches Stück betrachtet wird.
$f$der Integrand, also die Funktion, die integriert wird.
$\mathrm{d}x$sagt, dass $x$ die Variable ist, über die aufsummiert wird.

Ist $f$ eine Änderungsrate, so ist $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ die Gesamtänderung der zugehörigen Größe im Zeitraum $[a;\,b]$ — genau das Ergebnis aus Lerneinheit 1.

Tipp · Woher das Zeichen kommt

Das Zeichen $\int$ ist ein langgezogenes S und steht für „Summe“: aufsummiert werden die Flächeninhalte immer schmalerer Rechtecke. Das $\mathrm{d}x$ erinnert an deren Breite, die dabei gegen $0$ geht. Die Schreibweise stammt von Gottfried Wilhelm Leibniz.

Beispiel · Integral aus Dreiecken

Der Graph von $f$ mit $f(x)=x-1$ ist eine Gerade. Gesucht ist $\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x$.

Die Gerade schneidet die $x$-Achse bei $x=1$. Es entstehen zwei Dreiecke:

Von $0$ bis $1$ — unter der AchseKatheten $1$ und $1$: $\tfrac12\cdot1\cdot1=0{,}5$, also $-0{,}5$.
Von $1$ bis $3$ — über der AchseKatheten $2$ und $2$: $\tfrac12\cdot2\cdot2=2$, also $+2$.

$$\int_0^3 (x-1)\,\mathrm{d}x = -0{,}5 + 2 = 1{,}5$$

Der Flächeninhalt der beiden Dreiecke zusammen ist dagegen $0{,}5+2=2{,}5$ — eine andere Zahl. Warum das so ist, klärt Lerneinheit 6.

Teste dich

Berechne $\int_1^4 3\,\mathrm{d}x$.

Der Graph von $f$ mit $f(x)=3$ ist eine waagerechte Gerade. Zwischen $x=1$ und $x=4$ schließt sie mit der $x$-Achse ein Rechteck ein: Breite $3$, Höhe $3$.

$$\int_1^4 3\,\mathrm{d}x = 3\cdot 3 = 9$$

Der Graph von $f$ liegt im ganzen Intervall $[a;\,b]$ unterhalb der $x$-Achse. Welches Vorzeichen hat $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$?

Das Integral ist negativ, denn Flächen unterhalb der $x$-Achse zählen negativ.

Der Flächeninhalt selbst ist natürlich trotzdem positiv — er ist der Betrag des Integrals.

Es ist $\int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x = 0$. Berührt der Graph von $f$ hier überall die $x$-Achse?

Nein — das wäre nur eine Möglichkeit. Viel häufiger heißt $0$:

Die Fläche über der Achse ist genauso groß wie die Fläche darunter. Beide heben sich im orientierten Flächeninhalt auf.

Probier das oben im Schaubild aus: Zieh $a$ und $b$ so, dass Grün und Rot gleich viel wiegen.