Strecken, Verschieben und Spiegeln von Graphen

Du musst nicht jede Kurve neu ausrechnen. Kennst du den Graphen von $f$, bekommst du unendlich viele weitere geschenkt — durch Strecken, Verschieben und Spiegeln. Und alles, was dabei passiert, steht schon im Term.

Ausprobieren

Blass liegt der Graph von $f$ im Bild, rot der von $g$ mit $g(x)=a\cdot f\big(b(x-c)\big)+d$. Verstell einen Regler und schau, was er allein bewirkt. Der Punkt zeigt, wohin die Stelle $x=0$ wandert.

Graph von $f$ — der Ausgangsgraph Graph von $g$ mit $g(x)=a\cdot f\big(b(x-c)\big)+d$

$a$ 1

$b$ 1

$c$ 0

$d$ 0

Merke · Der Baukasten

Der Graph von $g$ entsteht aus dem Graphen von $f$ durch

$$g(x) = a\cdot f\big(b(x-c)\big) + d \qquad (b \gt 0)$$

$a$ — Streckung in $y$-Richtungmit dem Faktor $|a|$. Ist $a \lt 0$, wird der Graph zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.
$b$ — Streckung in $x$-Richtungmit dem Faktor $\tfrac{1}{b}$. Für $b \gt 1$ wird der Graph schmaler, für $b \lt 1$ breiter.
$c$ — Verschiebung in $x$-Richtungum $c$ nach rechts (für $c \lt 0$ nach links).
$d$ — Verschiebung in $y$-Richtungum $d$ nach oben (für $d \lt 0$ nach unten).

Die drei Spiegelungen sind Sonderfälle davon:

Term	So entsteht der Graph von $g$
$g(x)=-f(x)$	Spiegelung an der $x$-Achse
$g(x)=f(-x)$	Spiegelung an der $y$-Achse
$g(x)=-f(-x)$	Spiegelung am Ursprung $O(0\,\|\,0)$

Vorzeichen-Falle

Im Term steht $x-c$, verschoben wird aber um $+c$ nach rechts — das fühlt sich verkehrt an. Der Grund: $g$ nimmt an der Stelle $x$ genau den Wert an, den $f$ schon an der Stelle $x-c$ hatte. Jeder Punkt wandert also um $c$ nach rechts.

Bei $d$ fällt das nicht auf: $+d$ hebt den Graphen nach oben, weil $d$ direkt zum Funktionswert addiert wird.

Beispiel

Gegeben sind $f$ mit $f(x)=x^2$ und $g$ mit $g(x)=-2(x-3)^2+1$. Wie entsteht der Graph von $g$?

Der Vergleich mit $a\cdot f\big(b(x-c)\big)+d$ liefert $a=-2$, $b=1$, $c=3$ und $d=1$:

$a=-2$Spiegelung an der $x$-Achse und Streckung in $y$-Richtung mit dem Faktor $2$ — die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler.
$c=3$ und $d=1$Verschiebung um $3$ nach rechts und um $1$ nach oben.

Der Scheitelpunkt $S(0\,|\,0)$ von $f$ landet damit bei $S'(3\,|\,1)$.

Teste dich

Der Graph von $f$ mit $f(x)=x^3$ wird um $2$ nach links und um $1$ nach unten verschoben. Wie lautet der Term von $g$?

Nach links heißt $c=-2$, nach unten heißt $d=-1$. Eingesetzt in $f(x-c)+d$:

$$g(x) = \big(x-(-2)\big)^3 - 1 = (x+2)^3 - 1$$

Probe: Der Wendepunkt $W(0\,|\,0)$ von $f$ liegt bei $g$ nun bei $W'(-2\,|\,-1)$.

Wie entsteht der Graph von $g$ mit $g(x)=\tfrac12 e^{x}-3$ aus dem Graphen von $f$ mit $f(x)=e^x$? Wo liegt die Asymptote?

Hier ist $a=\tfrac12$ und $d=-3$: Streckung in $y$-Richtung mit dem Faktor $\tfrac12$, danach Verschiebung um $3$ nach unten.

Die waagerechte Asymptote $y=0$ von $f$ wird mitverschoben. Sie liegt bei $g$ also bei $y=-3$.

Wird der Graph von $g$ mit $g(x)=f(2x)$ breiter oder schmaler als der von $f$?

Es ist $b=2$, also Streckung in $x$-Richtung mit dem Faktor $\tfrac{1}{b}=\tfrac12$: der Graph wird auf die halbe Breite zusammengedrückt.

Zum Nachdenken: $g$ erreicht schon bei $x=1$ den Wert, den $f$ erst bei $x=2$ hat. Alles passiert doppelt so früh — deshalb schmaler.

Term	So entsteht der Graph von \(g\)
\(g(x)=-f(x)\)	Spiegelung an der \(x\)-Achse
\(g(x)=f(-x)\)	Spiegelung an der \(y\)-Achse
\(g(x)=-f(-x)\)	Spiegelung am Ursprung \(O(0\,\|\,0)\)