Lösen von Gleichungen
Nullstellen, Extremstellen, Schnittpunkte — am Ende steht fast immer eine Gleichung. Der Trick ist nicht Rechnen, sondern Wiedererkennen: Welche Bauart liegt vor, und welches Werkzeug passt dazu?
Rot ist der Graph des Produkts \((x-s)\cdot(x^2+t)\), blass die beiden Faktoren. Verschieb die Faktoren und beobachte: Das Produkt trifft die \(x\)-Achse genau dort, wo einer der Faktoren null ist — und nirgends sonst.
Forme die Gleichung immer zuerst so um, dass auf einer Seite \(0\) steht. Dann entscheidet die Bauart über das Werkzeug:
| Bauart | Werkzeug |
|---|---|
| \(ax^2+bx+c=0\) | Lösungsformel \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) |
| \(p(x)\cdot q(x)=0\) | Satz vom Nullprodukt: \(p(x)=0\) oder \(q(x)=0\) |
| jeder Summand enthält \(x\) | \(x\) ausklammern, dann Nullprodukt |
| \(a\cdot e^{2x}+b\cdot e^{x}+c=0\) | Substitution \(z=e^x\) |
| \(ax^4+bx^2+c=0\) | Substitution \(z=x^2\) |
| \(a\cdot\sin^2(x)+b\cdot\sin(x)+c=0\) | Substitution \(z=\sin(x)\) |
Nach jeder Substitution steht eine quadratische Gleichung in \(z\) da. Ist sie gelöst, musst du zurücksubstituieren — und dabei prüfen, ob jedes \(z\) überhaupt ein \(x\) liefert.
Teile nie durch \(x\) oder durch \(e^x\), um einen Faktor loszuwerden. Aus \(x^3=4x\) wird durch Teilen \(x^2=4\) — und die Lösung \(x=0\) ist spurlos verschwunden.
Richtig ist ausklammern: \(x\cdot(x^2-4)=0\) behält alle drei Lösungen.
Umgekehrt kann eine Substitution auch zu viele Kandidaten liefern: \(z=e^x\) ist immer positiv, ein negatives \(z\) ergibt also kein \(x\).
a) \(x^3=4x\) — jeder Summand enthält \(x\), also ausklammern:
$$\begin{aligned} x^3-4x &= 0 \\ x\cdot(x^2-4) &= 0 \end{aligned}$$
Nach dem Satz vom Nullprodukt: \(x=0\) oder \(x^2-4=0\), also \(x=\pm 2\). Lösungen: \(x_1=-2\), \(x_2=0\), \(x_3=2\).
b) \(2e^{2x}-5e^{x}+2=0\) — mit \(z=e^x\) wird daraus \(2z^2-5z+2=0\). Die Lösungsformel liefert
$$z_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\frac{5\pm 3}{4}$$
also \(z_1=2\) und \(z_2=\tfrac12\). Beide sind positiv, beide ergeben ein \(x\):
$$e^x=2 \Rightarrow x_1=\ln(2) \qquad e^x=\tfrac12 \Rightarrow x_2=\ln\left(\tfrac12\right)=-\ln(2)$$
Teste dich
Löse \((x^2-9)\cdot(e^{x}-1)=0\).
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist:
\(x^2-9=0\) liefert \(x=\pm 3\).
\(e^x-1=0\) heißt \(e^x=1\), also \(x=\ln(1)=0\).
Lösungen: \(x_1=-3\), \(x_2=0\), \(x_3=3\).
Löse \(x^4-5x^2+4=0\).
Nur gerade Hochzahlen — Substitution \(z=x^2\) führt auf \(z^2-5z+4=0\):
$$z_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm 3}{2}$$
also \(z_1=4\) und \(z_2=1\). Rücksubstitution \(x^2=z\):
\(x^2=4\) liefert \(x=\pm 2\), \(x^2=1\) liefert \(x=\pm 1\). Es gibt vier Lösungen.
Bei \(2e^{2x}-3e^{x}-2=0\) ergibt die Substitution \(z_1=2\) und \(z_2=-\tfrac12\). Wie viele Lösungen hat die Gleichung?
Nur eine. Bei der Rücksubstitution steht \(e^x=z\) — und \(e^x\) ist für jedes \(x\) positiv.
\(e^x=2\) liefert \(x=\ln(2)\). Dagegen hat \(e^x=-\tfrac12\) keine Lösung; dieser Kandidat fällt weg.