Rückblick · Funktionen und ihre Graphen

Strecken, Verschieben, Spiegeln

Der Graph von $g$ entsteht aus dem Graphen von $f$ durch

$$g(x) = a\cdot f\big(b(x-c)\big) + d \qquad (b \gt 0)$$

Parameter	Wirkung auf den Graphen
$a$	Streckung in $y$-Richtung mit $\|a\|$; für $a \lt 0$ zusätzlich Spiegelung an der $x$-Achse
$b$	Streckung in $x$-Richtung mit $\tfrac{1}{b}$
$c$	Verschiebung um $c$ in $x$-Richtung
$d$	Verschiebung um $d$ in $y$-Richtung

Sonderfälle: $g(x)=-f(x)$ spiegelt an der $x$-Achse, $g(x)=f(-x)$ an der $y$-Achse, $g(x)=-f(-x)$ am Ursprung $O(0\,|\,0)$.

Trigonometrische Funktionen

Für $f$ mit $f(x)=a\cdot\sin\big(b(x-c)\big)+d$ und $b \gt 0$:

Amplitude $|a|$Höchstwert $d+|a|$, Tiefstwert $d-|a|$.
Periode $p=\dfrac{2\pi}{b}$umgekehrt $b=\dfrac{2\pi}{p}$.
Mittellinie $y=d$Um sie schwingt der Graph; $c$ verschiebt in $x$-Richtung.

Der Kosinus ist nur ein verschobener Sinus: $\cos(x)=\sin\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)$. Alle Aussagen gelten deshalb für $a\cdot\cos\big(b(x-c)\big)+d$ genauso.

Strategien zum Lösen von Gleichungen — zuerst so umformen, dass auf einer Seite $0$ steht.

Bauart	Werkzeug
$ax^2+bx+c=0$	$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$p(x)\cdot q(x)=0$	Satz vom Nullprodukt: $p(x)=0$ oder $q(x)=0$
jeder Summand enthält $x$	$x$ ausklammern, dann Nullprodukt
$a\cdot e^{2x}+b\cdot e^{x}+c=0$	Substitution $z=e^x$
$ax^4+bx^2+c=0$	Substitution $z=x^2$
$a\cdot\sin^2(x)+b\cdot\sin(x)+c=0$	Substitution $z=\sin(x)$

Nach jeder Substitution steht eine quadratische Gleichung in $z$. Danach zurücksubstituieren und prüfen, ob jedes $z$ überhaupt ein $x$ liefert: $e^x$ ist immer positiv, $x^2$ nie negativ, $\sin(x)$ liegt zwischen $-1$ und $1$.

Die Stufenleiter

$$F \;\longrightarrow\; f \;\longrightarrow\; f' \;\longrightarrow\; f''$$

Zwischen je zwei benachbarten Ebenen gilt dasselbe. Steht $g$ über $g'$, so gilt an jeder Stelle $x_0$:

$g'$ hat dort …	… dann hat $g$ dort
Nullstelle mit Vorzeichenwechsel	eine Extremstelle
Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel	eine Sattelstelle
Extremstelle	eine Wendestelle

Für Intervalle: $g'(x) \gt 0$ heißt streng monoton steigend, $g'(x) \lt 0$ streng monoton fallend.

Nach oben ist der Weg nicht eindeutig: Alle Stammfunktionen $F(x)+c$ haben dieselben besonderen Stellen, liegen aber unterschiedlich hoch.

Vom Funktionsterm zum Graphen

Vielfachheit der Nullstelle	Der Graph …
einfach	schneidet die $x$-Achse
gerade ($2$, $4$, …)	berührt die Achse — Extremstelle
ungerade $\ge 3$	geht mit einem Sattelpunkt hindurch

Verhalten für $x\to\pm\infty$: Es entscheidet die höchste Potenz. Gerader Grad — beide Enden laufen in dieselbe Richtung; ungerader Grad — in entgegengesetzte. Ein negativer Leitkoeffizient dreht beides um.

Symmetrie: nur gerade Hochzahlen $\Rightarrow$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ($f(-x)=f(x)$); nur ungerade $\Rightarrow$ punktsymmetrisch zum Ursprung ($f(-x)=-f(x)$).

So skizzierst du: 1. Nullstellen mit Vielfachheit. 2. Verhalten für $x\to\pm\infty$. 3. Symmetrie. 4. Extrem- und Wendepunkte berechnen.

Anwendungen: Höhe und Fläche

Beschreibt $f$ die Änderungsrate einer Größe:

Frage	Ansatz
Rate zum Zeitpunkt $t$	$f(t)$
Änderung im Intervall $[t_1;\,t_2]$	$\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,\mathrm{d}t$
Bestand zum Zeitpunkt $t$	$\displaystyle B(t)=B(0)+\int_{0}^{t} f(t)\,\mathrm{d}t$
Bestand wie zu Beginn	$\displaystyle\int_{0}^{t_1} f(t)\,\mathrm{d}t=0$
Bestand maximal	$f(t)=0$ mit Wechsel von $+$ nach $-$

Zwei Graphen vergleichen: Die Höhe sagt, wer gerade schneller ist; die Fläche zwischen den Graphen sagt, wer vorn liegt.

Die drei häufigsten Fallen

$x-c$ verschiebt nach rechtsIm Term steht ein Minus, verschoben wird um $+c$ nach rechts. Immer an einem Punkt prüfen.
Nie durch $x$ teilenAus $x^3=4x$ wird durch Teilen $x^2=4$ — und die Lösung $x=0$ ist weg. Richtig ist ausklammern.
Schneller ist nicht weiter vornDie Höhe entscheidet über das Tempo, erst die Fläche über den zurückgelegten Weg.

Parameter	Wirkung auf den Graphen
\(a\)	Streckung in \(y\)-Richtung mit \(\|a\|\); für \(a \lt 0\) zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse
\(b\)	Streckung in \(x\)-Richtung mit \(\tfrac{1}{b}\)
\(c\)	Verschiebung um \(c\) in \(x\)-Richtung
\(d\)	Verschiebung um \(d\) in \(y\)-Richtung

Bauart	Werkzeug
\(ax^2+bx+c=0\)	\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(p(x)\cdot q(x)=0\)	Satz vom Nullprodukt: \(p(x)=0\) oder \(q(x)=0\)
jeder Summand enthält \(x\)	\(x\) ausklammern, dann Nullprodukt
\(a\cdot e^{2x}+b\cdot e^{x}+c=0\)	Substitution \(z=e^x\)
\(ax^4+bx^2+c=0\)	Substitution \(z=x^2\)
\(a\cdot\sin^2(x)+b\cdot\sin(x)+c=0\)	Substitution \(z=\sin(x)\)

Frage	Ansatz
Rate zum Zeitpunkt \(t\)	\(f(t)\)
Änderung im Intervall \([t_1;\,t_2]\)	\(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,\mathrm{d}t\)
Bestand zum Zeitpunkt \(t\)	\(\displaystyle B(t)=B(0)+\int_{0}^{t} f(t)\,\mathrm{d}t\)
Bestand wie zu Beginn	\(\displaystyle\int_{0}^{t_1} f(t)\,\mathrm{d}t=0\)
Bestand maximal	\(f(t)=0\) mit Wechsel von \(+\) nach \(-\)

Vielfachheit der Nullstelle	Der Graph …
einfach	schneidet die \(x\)-Achse
gerade (\(2\), \(4\), …)	berührt die Achse — Extremstelle
ungerade \(\ge 3\)	geht mit einem Sattelpunkt hindurch