Graphen von Funktionen untersuchen
In der Prüfung liegt oft nur ein Graph vor — und gefragt ist etwas über einen anderen. Das geht, weil alle drei Ebenen an denselben Stellen etwas Besonderes tun. Nur der Name ändert sich von Ebene zu Ebene.
Drei Ebenen derselben Funktion, untereinander gelegt: ganz unten \(f'\), darüber \(f\), ganz oben eine Stammfunktion \(F\). Fahr mit dem Regler durch und schalte dann die besonderen Stellen ein — eine senkrechte Linie, drei Namen.
Jede Ebene entsteht aus der darüber durch Ableiten:
$$F \;\longrightarrow\; f \;\longrightarrow\; f' \;\longrightarrow\; f''$$
Zwischen je zwei benachbarten Ebenen gilt immer dasselbe. Steht \(g\) über \(g'\), so gilt an jeder Stelle \(x_0\):
| \(g'\) hat dort … | … dann hat \(g\) dort |
|---|---|
| eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel | eine Extremstelle (Hoch- bzw. Tiefpunkt) |
| eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel | eine Sattelstelle |
| eine Extremstelle | eine Wendestelle |
Das gilt für das Paar \(f'\) und \(f\) genauso wie für \(f\) und \(F\) oder für \(f''\) und \(f'\). Deshalb wandert eine Eigenschaft beim Aufsteigen jedes Mal einen Namen weiter: aus einer Nullstelle wird eine Extremstelle, daraus eine Wendestelle.
Und für ganze Intervalle: \(g'(x) \gt 0\) heißt, dass \(g\) dort streng monoton steigt; \(g'(x) \lt 0\) heißt, dass \(g\) dort streng monoton fällt.
Nach unten (ableiten) ist der Weg eindeutig, nach oben nicht: Zu \(f\) gibt es unendlich viele Stammfunktionen \(F(x)+c\). Sie unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung in \(y\)-Richtung.
Für alle Aussagen über Stellen ist das egal — Hoch-, Tief- und Wendestellen liegen bei jeder von ihnen an derselben Stelle \(x_0\). Erst ein \(y\)-Wert wie \(F(0)=2\) legt eine einzelne Stammfunktion fest.
Von einer Funktion \(f\) ist nur der Graph von \(f'\) bekannt. Er hat bei \(x=-2\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) und bei \(x=3\) eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Was folgt für \(f\)?
- \(x=-2\)Links davon ist \(f'(x) \lt 0\), rechts \(f'(x) \gt 0\): \(f\) fällt erst und steigt dann — ein Tiefpunkt.
- \(x=3\)Die Steigung ist \(0\), wechselt aber das Vorzeichen nicht: \(f\) hat dort eine Sattelstelle und steigt danach weiter.
- Zwischen \(-2\) und \(3\)Es ist \(f'(x) \gt 0\), also ist \(f\) dort streng monoton steigend.
Der \(y\)-Wert des Tiefpunkts lässt sich so nicht bestimmen — dafür bräuchte man einen Punkt des Graphen von \(f\).
Teste dich
Der Graph von \(f\) hat bei \(x=4\) einen Wendepunkt. Was hat \(f'\) dort, was \(f''\)?
Eine Wendestelle von \(f\) ist eine Ebene tiefer eine Extremstelle von \(f'\): die Steigung von \(f\) ist dort am größten oder am kleinsten.
Noch eine Ebene tiefer wird daraus eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(f''\).
Der Graph von \(f\) verläuft auf \([0;\,5]\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Was folgt für eine Stammfunktion \(F\)?
Es ist \(f(x) \lt 0\) auf ganz \([0;\,5]\). Weil \(f\) die Steigung von \(F\) ist, ist \(F\) dort streng monoton fallend.
Über Hoch- oder Tiefpunkte von \(F\) lässt sich nichts sagen: \(f\) hat in diesem Intervall keine Nullstelle, also hat \(F\) dort keine Extremstelle.
Warum kann man aus dem Graphen von \(f'\) allein nie den Graphen von \(f\) zeichnen — nur seine Form?
Weil jede Funktion \(f(x)+c\) dieselbe Ableitung hat. Der Graph von \(f\) ist dadurch nur bis auf eine Verschiebung in \(y\)-Richtung festgelegt.
Alle Aussagen über Stellen — wo steigt, fällt, wendet er — sind trotzdem sicher, denn die ändern sich beim Verschieben nicht.