Vom Funktionsterm zum Graphen
Jetzt der umgekehrte Weg: Du siehst nur den Term. Erstaunlich viel lässt sich daraus ohne jede Rechnung ablesen — vor allem, wie der Graph die \(x\)-Achse trifft.
Der Term ist \(f(x)=a\cdot(x+2)^{n}(x-1)^{m}\). Stell die beiden Hochzahlen ein und schau dir an, was an den Nullstellen \(-2\) und \(1\) passiert: durchschneiden, nur berühren oder kurz waagerecht hindurch?
Der Streckfaktor \(a\) ist dort jedes Mal so gewählt, dass der Graph gut ins Bild passt. Auf die Form an den Nullstellen hat er keinen Einfluss — nur sein Vorzeichen zählt, und das dreht den ganzen Graphen um.
Kommt der Linearfaktor \((x-x_0)\) im Term genau \(k\)-mal vor, so heißt \(x_0\) eine \(k\)-fache Nullstelle. Daran hängt, wie der Graph die Achse trifft:
| Vielfachheit \(k\) | Der Graph … | Vorzeichenwechsel |
|---|---|---|
| \(1\) (einfach) | schneidet die \(x\)-Achse | ja |
| \(2\) (gerade) | berührt die Achse — dort liegt eine Extremstelle | nein |
| \(3\) (ungerade, \(\ge 3\)) | geht mit einem Sattelpunkt hindurch | ja |
Kurz: gerade Vielfachheit heißt berühren, ungerade heißt hindurchgehen — und ab \(k \ge 2\) ist die Tangente dort waagerecht.
- Verhalten für \(x\to\pm\infty\)Es entscheidet die höchste Potenz. Bei geradem Grad laufen beide Enden in dieselbe Richtung, bei ungeradem Grad in entgegengesetzte. Ist der Leitkoeffizient negativ, dreht sich beides um.
- SymmetrieKommen nur gerade Hochzahlen vor, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(f(-x)=f(x)\)). Kommen nur ungerade vor, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung (\(f(-x)=-f(x)\)).
- Bei \(e\)-Funktionen\(e^x\) ist nie null — Nullstellen kommen nur aus dem anderen Faktor. Und \(e^{-x}\) schlägt jede Potenz: \(x^2e^{-x}\to 0\) für \(x\to+\infty\).
So skizzierst du einen Graphen: 1. Nullstellen mit ihrer Vielfachheit bestimmen. 2. Verhalten für \(x\to\pm\infty\) untersuchen. 3. Auf Symmetrie prüfen. 4. Falls nötig, Extrem- und Wendepunkte berechnen.
a) \(f(x)=(x+1)^2(x-2)\)
- Nullstellen\(x_1=-1\) doppelt (Berührpunkt mit Extremstelle), \(x_2=2\) einfach (Schnittpunkt).
- Grad und VerhaltenAusmultipliziert wäre die höchste Potenz \(x^3\): Grad \(3\), Leitkoeffizient \(1\). Also \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\).
- FolgerungDer Graph kommt von unten, berührt bei \(-1\) die Achse von unten — dort liegt also ein Hochpunkt \(H(-1\,|\,0)\) — und schneidet bei \(2\) nach oben.
b) \(g(x)=x^2\cdot e^{-x}\): Wegen \(e^{-x} \gt 0\) liegt die einzige Nullstelle bei \(x=0\), und sie ist doppelt — der Graph berührt dort die Achse. Für \(x\to+\infty\) gilt \(g(x)\to 0\), der Graph nähert sich der \(x\)-Achse von oben. Für \(x\to-\infty\) gilt \(g(x)\to+\infty\).
Teste dich
Wie trifft der Graph von \(f\) mit \(f(x)=(x-3)^2(x+1)^3\) die \(x\)-Achse? Welchen Grad hat \(f\)?
Bei \(x=3\) ist die Nullstelle doppelt: der Graph berührt die Achse, dort liegt eine Extremstelle.
Bei \(x=-1\) ist sie dreifach: der Graph geht mit einem Sattelpunkt hindurch.
Der Grad ist \(2+3=5\), also ungerade. Wegen des positiven Leitkoeffizienten läuft der Graph von \(-\infty\) nach \(+\infty\).
Warum ist der Graph von \(f\) mit \(f(x)=x^4-3x^2+1\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse?
Im Term stehen nur gerade Hochzahlen (\(x^4\), \(x^2\) und die Konstante \(1=1\cdot x^0\)). Beim Einsetzen von \(-x\) heben sich alle Minuszeichen weg:
$$f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+1=x^4-3x^2+1=f(x)$$
Genau das ist die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse.
Der Graph einer Funktion berührt bei \(x=2\) die \(x\)-Achse und schneidet sie bei \(x=-1\). Gib einen möglichen Term dritten Grades an.
Berühren heißt Vielfachheit \(2\), schneiden heißt Vielfachheit \(1\). Zusammen ergibt das genau den Grad \(3\):
$$f(x)=a\cdot(x-2)^2(x+1) \qquad a\neq 0$$
Jedes \(a\neq 0\) passt — es streckt den Graphen nur in \(y\)-Richtung (und spiegelt ihn für \(a \lt 0\)).