Anwendungen von Graphen und Funktionen
In Sachaufgaben steckt fast alles in zwei Fragen: Was bedeutet die Höhe des Graphen — und was bedeutet die Fläche darunter? Wer die beiden auseinanderhält, hat den Rest gewonnen.
Zwei Radfahrer starten gleichzeitig. Der Graph zeigt ihr Tempo, nicht ihren Weg. Schieb die Zeit und beobachte: Wer schneller fährt, liegt noch lange nicht vorn — dafür muss die grüne Fläche erst die blaue aufholen.
Beschreibt eine Funktion \(f\) die Änderungsrate einer Größe (Tempo, Zufluss, Verkaufsrate), dann gilt:
| Frage im Sachzusammenhang | Ansatz |
|---|---|
| Wie groß ist die Rate zum Zeitpunkt \(t\)? | \(f(t)\) — die Höhe |
| Wie stark ändert sich die Größe im Intervall \([t_1;\,t_2]\)? | \(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,\mathrm{d}t\) — die Fläche |
| Wie groß ist der Bestand zum Zeitpunkt \(t\)? | \(\displaystyle B(t)=B(0)+\int_{0}^{t} f(t)\,\mathrm{d}t\) |
| Wann ist der Bestand wieder so groß wie am Anfang? | \(\displaystyle\int_{0}^{t_1} f(t)\,\mathrm{d}t = 0\) |
| Wann ist der Bestand am größten? | \(f(t)=0\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) |
Und eine Ebene tiefer: \(f'(t)\) ist die Änderung der Rate. Ist \(f(t) \gt 0\) und \(f'(t) \lt 0\), so wächst der Bestand weiter — nur immer langsamer.
Schneller ist nicht dasselbe wie weiter vorn. Wer ab einem Zeitpunkt das höhere Tempo hat, liegt erst dann in Führung, wenn die aufgeholte Fläche so groß ist wie der vorher entstandene Vorsprung.
Genauso: Ein fallender Graph der Zuflussrate bedeutet nicht, dass der Bestand sinkt. Er sinkt erst, wenn die Rate negativ wird.
Die Funktion \(z\) beschreibt die Zuflussrate in ein Regenwasserbecken (\(t\) in Minuten, \(z(t)\) in Liter pro Minute). Zu Beginn stehen \(200\) Liter im Becken.
- \(\displaystyle\int_{0}^{10} z(t)\,\mathrm{d}t = 45\)In den ersten \(10\) Minuten fließen \(45\) Liter zu. Danach sind \(200+45=245\) Liter im Becken.
- \(z'(20) \lt 0\)Nach \(20\) Minuten nimmt die Zuflussrate ab. Ist \(z(20)\) noch positiv, steigt der Wasserstand trotzdem weiter — nur langsamer.
- \(z(35)=0\) mit Wechsel von \(+\) nach \(-\)Ab Minute \(35\) fließt Wasser ab. Der Wasserstand ist zu diesem Zeitpunkt am größten.
Teste dich
Ein Graph zeigt die Geschwindigkeit eines Zuges in \(\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) über der Zeit in Sekunden. Was bedeutet der Flächeninhalt zwischen \(t=0\) und \(t=60\)?
Die Fläche ist das Integral der Geschwindigkeit — also der in dieser Minute zurückgelegte Weg in Metern.
Merkhilfe über die Einheiten: \(\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot\text{s}=\text{m}\). Die Einheit der Fläche ergibt sich immer aus Höhe mal Breite.
Die Verkaufsrate \(v\) eines Kiosks hat um \(14\) Uhr einen Tiefpunkt. Was heißt das — und was heißt es nicht?
Es heißt: Um \(14\) Uhr wird am wenigsten pro Stunde verkauft. Danach zieht der Verkauf wieder an.
Es heißt nicht, dass der Gesamtumsatz sinkt. Solange \(v(t) \gt 0\) ist, werden weiter Getränke verkauft — der Gesamtumsatz wächst also die ganze Zeit, um \(14\) Uhr nur am langsamsten.
Zwei Läufer starten gleichzeitig. Ab Minute \(4\) ist \(B\) schneller als \(A\). Liegt \(B\) ab Minute \(4\) vorn?
Nein. In den ersten vier Minuten hat \(A\) einen Vorsprung herausgelaufen — das ist die Fläche zwischen den beiden Graphen bis Minute \(4\).
Ab Minute \(4\) holt \(B\) auf, aber der Rückstand ist erst dann weg, wenn die neue Fläche genauso groß ist wie die alte. Rechnerisch: Man sucht das \(t_1\) mit
$$\int_{0}^{t_1} a(t)\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{t_1} b(t)\,\mathrm{d}t$$