Trigonometrische Funktionen

Ebbe und Flut, Tageslänge, ein Herzschlag: Alles, was sich wiederholt, lässt sich mit dem Sinus beschreiben. Man muss ihn nur passend dehnen und schieben — mit genau denselben vier Parametern wie eben.

Ausprobieren

Rot ist der Graph von $f$ mit $f(x)=a\cdot\sin\big(b(x-c)\big)+d$, blass der reine Sinus. Achte auf die beiden Messstrecken: die senkrechte ist die Amplitude, die waagerechte die Periode.

Graph von $\sin(x)$ zum Vergleich Graph von $f$ Amplitude $|a|$ über der Mittellinie $y=d$ Periode $p$ — von Hochpunkt zu Hochpunkt

$a$ 1

$b$ 1

$c$ 0

$d$ 0

Merke · Sinus mit Parametern

Für $f$ mit $f(x)=a\cdot\sin\big(b(x-c)\big)+d$ und $b \gt 0$ gilt:

Amplitude $|a|$Streckung in $y$-Richtung: der Graph schwingt um $|a|$ nach oben und unten. Für $a \lt 0$ ist er zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.
Periode $p=\dfrac{2\pi}{b}$Nach der Länge $p$ wiederholt sich der Verlauf. Großes $b$ heißt: viele Schwingungen auf wenig Platz.
Verschiebung um $c$in $x$-Richtung — die ganze Schwingung startet später (bzw. früher).
Mittellinie $y=d$Um diese Waagerechte schwingt der Graph. Höchstwert $d+|a|$, Tiefstwert $d-|a|$.

Aus $p=\dfrac{2\pi}{b}$ folgt umgekehrt $b=\dfrac{2\pi}{p}$ — so kommst du von einer abgelesenen Periode zum Term.

Und der Kosinus?

Der Kosinusgraph ist nur ein verschobener Sinusgraph:

$$\cos(x)=\sin\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)$$

Alles über Amplitude, Periode und Mittellinie gilt deshalb für $g(x)=a\cdot\cos\big(b(x-c)\big)+d$ genauso. Es genügt, den Sinus zu beherrschen.

Beispiel

Ein Graph schwingt um die Waagerechte $y=2$, sein höchster Wert ist $5$, sein tiefster $-1$. Von einem Hochpunkt bis zum nächsten sind es $4$ Einheiten, der erste Hochpunkt liegt bei $x=1$. Gesucht ist ein Term.

Mittellinie$d=2$, denn $y=2$ liegt genau zwischen $-1$ und $5$.
Amplitude$|a|=5-2=3$. Der Graph startet steigend, also $a=3$.
Periode$p=4$, also $b=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$.
VerschiebungDer reine Sinus hat seinen ersten Hochpunkt nach einem Viertel der Periode, also bei $x=1$ — das passt schon, $c=0$.

$$f(x)=3\cdot\sin\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)+2$$

Teste dich

Bestimme Amplitude und Periode von $f$ mit $f(x)=4\cdot\sin(3x)$.

Ablesen: $a=4$ und $b=3$.

Amplitude $|a|=4$, Periode

$$p=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{3}\approx 2{,}09$$

Gib den Term einer Sinusfunktion mit Amplitude $2$, Periode $\pi$ und Mittellinie $y=-1$ an.

Aus der Periode folgt $b=\dfrac{2\pi}{p}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2$. Weiter ist $a=2$ und $d=-1$, eine Verschiebung ist nicht gefordert ($c=0$):

$$f(x)=2\cdot\sin(2x)-1$$

Probe: Höchstwert $-1+2=1$, Tiefstwert $-1-2=-3$.

Der Graph von $f$ mit $f(x)=-1{,}5\cdot\sin(2x)$ — wo liegt sein erster Hochpunkt rechts von $0$?

Wegen $a \lt 0$ ist der Graph an der $x$-Achse gespiegelt. Ein Hochpunkt liegt dort, wo $\sin(2x)$ seinen kleinsten Wert $-1$ hat:

$$2x=\frac{3\pi}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{3\pi}{4}\approx 2{,}36$$

Der Hochpunkt ist $H\left(\tfrac{3\pi}{4}\,\middle|\,1{,}5\right)$.