Abstand eines Punktes von einer Ebene

Von einem Punkt zu einer Ebene führen unendlich viele Strecken — alle verschieden lang. „Der Abstand“ meint immer die kürzeste davon. Die Frage ist nur: Welche ist das?

Ausprobieren

Schieb den Punkt $R$ durch den Raum. Rot ist das Lot, grau sind vier andere Verbindungen zur selben Ebene. Achte auf die Zahlen an den Strecken: Welche gewinnt — und ändert sich daran je etwas?

Verlass dich dabei nicht auf die gezeichnete Länge. Ein Schrägbild verzerrt Längen und Winkel; nur die angeschriebenen Werte sind echt.

Die Ebene $E:\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 8$ Das Lot von $R$ auf $E$, Länge $d$ Lotgerade $g$ und Lotfußpunkt $F$ Vier andere Verbindungen zu $E$, gestrichelt ihre Katheten in $E$

$r_1$ 4

$r_2$ 4

$r_3$ 4

Merke · Abstand Punkt–Ebene

Der Abstand $d(R;E)$ ist die Länge der kürzesten Strecke von $R$ zu einem Punkt der Ebene. Sie steht senkrecht auf $E$ und heißt Lot; ihr Endpunkt in der Ebene heißt Lotfußpunkt $F$.

Sind $R$ mit dem Ortsvektor $\vec r$ und $E$ mit einem Normalenvektor $\vec n$ gegeben, geht es in drei Schritten:

1. Lotgerade aufstellenSie geht durch $R$ und hat die Richtung $\vec n$: $g:\ \vec x = \vec r + t\cdot\vec n$.
2. Lotfußpunkt bestimmen$F$ ist der Schnittpunkt von $g$ mit $E$ — einsetzen und nach $t$ auflösen.
3. Abstand berechnen$d(R;E) = \lvert\overrightarrow{RF}\rvert$.

Schritt 3 geht auch kürzer: Weil $\overrightarrow{RF} = t\cdot\vec n$ ist, gilt

$$d(R;E) = \lvert t\rvert\cdot\lvert\vec n\rvert$$

Merke · Warum ausgerechnet das Lot

Sei $Q$ irgendein Punkt der Ebene. Das Dreieck $RFQ$ hat bei $F$ einen rechten Winkel, denn $\overrightarrow{RF}$ steht senkrecht auf $E$ und $\overrightarrow{FQ}$ liegt in $E$. Nach Pythagoras ist also

$$\lvert\overrightarrow{RQ}\rvert^{\,2} = d^{\,2} + \lvert\overrightarrow{FQ}\rvert^{\,2}$$

Der zweite Summand ist nie negativ. Jede andere Verbindung ist deshalb mindestens so lang wie das Lot — und genau so lang nur für $Q = F$.

Tipp · Zwei Fälle, die schnell gehen

Punkt liegt in $E$Dann ist $t = 0$, also $F = R$ und $d = 0$. Die Punktprobe aus Kapitel VI ist damit ein Abstandstest.
Zwei parallele EbenenIhr Abstand ist der Abstand eines beliebigen Punktes der einen von der anderen. Man sucht sich also einen bequemen Punkt, etwa einen Spurpunkt.

Beispiel

Gesucht ist der Abstand von $R(5\,|\,1\,|\,4)$ zur Ebene $E:\ 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 6$.

1. Lotgerade mit $\vec n = \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$:

$$g:\ \vec x = \begin{pmatrix}5\\1\\4\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$$

2. Einsetzen in $E$:

$$\begin{aligned} 2(5+2t) - (1-t) + 2(4+2t) &= 6\\ 17 + 9t &= 6\\ t &= -\tfrac{11}{9} \end{aligned}$$

Das ergibt den Lotfußpunkt $F\!\left(\tfrac{23}{9}\,\middle|\,\tfrac{20}{9}\,\middle|\,\tfrac{14}{9}\right)$.

3. Mit $\lvert\vec n\rvert = \sqrt{4+1+4} = 3$ folgt sofort

$$d(R;E) = \lvert t\rvert\cdot\lvert\vec n\rvert = \tfrac{11}{9}\cdot 3 = \tfrac{11}{3} \approx 3{,}67$$

Der Punkt $R$ ist also rund $3{,}67$ Längeneinheiten von $E$ entfernt.

Teste dich

Welchen Abstand hat $P(3\,|\,{-2}\,|\,7)$ von der Ebene $E:\ x_3 = 2$?

Hier lohnt kein Rechenweg: $E$ ist die waagerechte Ebene in der Höhe $2$, und $P$ liegt in der Höhe $7$.

$$d = \lvert 7 - 2\rvert = 5$$

Zur Kontrolle mit der Formel: $\vec n = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$, $\lvert\vec n\rvert = 1$, und Einsetzen liefert $7 + t = 2$, also $t = -5$. Dann ist $d = \lvert -5\rvert\cdot 1 = 5$. ✓

Berechne den Abstand von $R(4\,|\,4\,|\,4)$ zu $E:\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 8$ — der Ausgangslage im Schaubild oben.

$\vec n = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, also $\lvert\vec n\rvert = \sqrt{1+4+4} = 3$. Einsetzen der Lotgeraden:

$$(4+t) + 2(4+2t) + 2(4+2t) = 8 \;\Longleftrightarrow\; 20 + 9t = 8 \;\Longleftrightarrow\; t = -\tfrac43$$

$$d = \lvert t\rvert\cdot\lvert\vec n\rvert = \tfrac43\cdot 3 = 4$$

Der Lotfußpunkt ist $F\!\left(\tfrac83\,\middle|\,\tfrac43\,\middle|\,\tfrac43\right)$.

Wie weit sind die parallelen Ebenen $E:\ 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 9$ und $F:\ 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 3$ voneinander entfernt?

Erst ein bequemer Punkt von $F$: Für $x_2 = x_3 = 0$ ist $2x_1 = 3$, also $P(1{,}5\,|\,0\,|\,0)$.

Lotgerade durch $P$ in $E$ einsetzen, mit $\lvert\vec n\rvert = 3$:

$$2(1{,}5+2t) + t + 2\cdot 2t = 9 \;\Longleftrightarrow\; 3 + 9t = 9 \;\Longleftrightarrow\; t = \tfrac23$$

$$d = \tfrac23\cdot 3 = 2$$

Kurzcheck: Die beiden rechten Seiten unterscheiden sich um $6$, und $6 : \lvert\vec n\rvert = 6 : 3 = 2$. Das ist kein Zufall — bei gleichem $\vec n$ gilt das immer.