Anwendungen des Vektorprodukts
Bisher war \(\vec a\times\vec b\) nur ein Werkzeug, um an einen Normalenvektor zu kommen. Seine Länge hast du dabei nie gebraucht — dabei steckt genau darin ein Flächeninhalt.
\(\vec a\) liegt fest auf der \(x_1\)-Achse, \(\vec b\) stellst du ein. Beobachte den Flächeninhalt: Wann wird er am größten, wann null? Und was macht das Dreieck dabei?
Der Betrag des Vektorprodukts ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das \(\vec a\) und \(\vec b\) aufspannen:
$$A_{\text{Parallelogramm}} = \lvert\vec a\times\vec b\rvert$$
Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm — man ergänzt es mit einer zweiten Kopie zum ganzen. Also gilt
$$A_{\text{Dreieck}} = \tfrac12\cdot\lvert\vec a\times\vec b\rvert$$
Für ein Dreieck \(ABC\) nimmt man dabei zwei Vektoren, die vom selben Eckpunkt ausgehen, etwa \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\).
Drei Vektoren spannen einen Spat auf — einen Körper aus sechs Parallelogrammen. Sein Volumen ist
$$V_{\text{Spat}} = \bigl\lvert\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)\bigr\rvert$$
Dieselben drei Vektoren spannen auch eine dreiseitige Pyramide auf. Sie hat dieselbe Höhe, aber nur die halbe Grundfläche, und für eine Pyramide gilt \(V = \tfrac13\cdot G\cdot h\). Zusammen ergibt das ein Sechstel:
$$V_{\text{Pyramide}} = \tfrac16\cdot\bigl\lvert\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)\bigr\rvert$$
Wird das Ergebnis \(0\), liegen die drei Vektoren in einer Ebene — der Körper ist platt und hat kein Volumen.
Aus Fläche und Volumen bekommt man Höhen, ohne je einen Lotfußpunkt zu berechnen:
- Höhe im DreieckAus \(A = \tfrac12\cdot g\cdot h\) folgt \(h = \dfrac{2A}{g}\) — mit \(g\) als Länge der gewählten Grundseite.
- Höhe einer PyramideAus \(V = \tfrac13\cdot G\cdot h\) folgt \(h = \dfrac{3V}{G}\), wobei \(G\) der Flächeninhalt der Grundfläche ist.
Beides sind nur umgestellte Formeln aus der Mittelstufe — neu ist allein, dass \(A\) und \(V\) jetzt aus Vektoren kommen.
Gesucht sind Flächeninhalt und die Höhe \(h_c\) des Dreiecks \(ABC\) mit \(A(1\,|\,1\,|\,2)\), \(B(4\,|\,1\,|\,6)\) und \(C(1\,|\,5\,|\,2)\).
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\cdot 0 - 4\cdot 4\\ 4\cdot 0 - 3\cdot 0\\ 3\cdot 4 - 0\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-16\\0\\12\end{pmatrix}$$
$$A = \tfrac12\cdot\sqrt{256 + 0 + 144} = \tfrac12\cdot 20 = 10$$
Die Seite \(c = \overline{AB}\) hat die Länge \(\lvert\overrightarrow{AB}\rvert = 5\). Damit ist
$$h_c = \frac{2A}{c} = \frac{20}{5} = 4$$
Der Flächeninhalt beträgt also \(10\) FE, die Höhe auf \(\overline{AB}\) misst \(4\) LE.
Teste dich
Welchen Flächeninhalt hat das Parallelogramm aus \(\vec a = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec b = \begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}\)?
$$\vec a\times\vec b = \vec o \;\Longrightarrow\; A = 0$$
Beide Vektoren zeigen in dieselbe Richtung — sie spannen gar keine Fläche auf, sondern nur eine Strecke. Ein „Parallelogramm“ mit Flächeninhalt \(0\) ist zusammengeklappt.
Berechne das Volumen der dreiseitigen Pyramide, die von \(\vec a = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec b = \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec c = \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\) aufgespannt wird.
$$\vec a\times\vec b = \begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}, \qquad \vec c\cdot(\vec a\times\vec b) = 24$$
$$V = \tfrac16\cdot 24 = 4$$
Probe mit der Schulformel: Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit \(G = \tfrac12\cdot 2\cdot 3 = 3\), die Höhe ist \(4\), also \(V = \tfrac13\cdot 3\cdot 4 = 4\) ✓
Woran erkennst du an einer einzigen Rechnung, ob vier Punkte \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) in einer Ebene liegen?
Man bildet die drei Vektoren vom selben Punkt aus und prüft das Spatvolumen:
$$\overrightarrow{AD}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right) = 0$$
Ist das Ergebnis \(0\), hat der Spat kein Volumen — die vier Punkte liegen dann in einer Ebene. Sonst spannen sie einen echten Körper auf.