Rückblick

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Gegeben sind $R$ mit dem Ortsvektor $\vec r$ und $E$ mit dem Normalenvektor $\vec n$.

1. Lotgerade$g:\ \vec x = \vec r + t\cdot\vec n$, $t \in \mathbb{R}$
2. Lotfußpunkt$F$ als Schnittpunkt von $g$ mit $E$
3. Abstand$d(R;E) = \lvert\overrightarrow{RF}\rvert = \lvert t\rvert\cdot\lvert\vec n\rvert$

Der Abstand ist die kürzeste aller Verbindungen: Für jeden Punkt $Q$ von $E$ gilt $\lvert\overrightarrow{RQ}\rvert^{\,2} = d^{\,2} + \lvert\overrightarrow{FQ}\rvert^{\,2} \ge d^{\,2}$.

Der Abstand zweier paralleler Ebenen ist der Abstand eines beliebigen Punktes der einen von der anderen.

Spiegelung

Gespiegelt an	Bildpunkt $P'$	Der Umkehrpunkt ist …
einem Punkt $Z$	$\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OZ} + \overrightarrow{PZ}$	$Z$ selbst
einer Ebene $E$	$\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{PF}$	der Lotfußpunkt $F$

In beiden Fällen ist der Umkehrpunkt der Mittelpunkt von $\overline{PP'}$. Bei der Ebenenspiegelung geht es kürzer mit dem doppelten Parameter: $\vec p\,' = \vec p + 2t\cdot\vec n$.

Rückwärts: Aus $A$ und $A'$ findet man $Z$ als Mittelpunkt; die Spiegelebene hat $\overrightarrow{AA'}$ als Normalenvektor und geht durch den Mittelpunkt.

Winkel zwischen zwei Vektoren

$$\cos(\alpha) = \frac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec b\rvert}, \qquad 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$$

$\vec a\cdot\vec b$	Winkel
$\gt 0$	spitz, $\alpha \lt 90^\circ$
$= 0$	rechter Winkel, $\alpha = 90^\circ$
$\lt 0$	stumpf, $\alpha \gt 90^\circ$

Der Winkel hängt nur an der Richtung: Streckt man einen Vektor, kürzt sich der Faktor im Bruch weg.

Schnittwinkel

Immer der kleinere Winkel, also $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ — daher die Betragsstriche im Zähler.

Zwischen	gebraucht werden	Formel
$g$ und $h$	$\vec u$, $\vec v$	$\cos(\alpha) = \dfrac{\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec v\rvert}$
$E$ und $F$	$\vec n_E$, $\vec n_F$	$\cos(\alpha) = \dfrac{\lvert\vec n_E\cdot\vec n_F\rvert}{\lvert\vec n_E\rvert\cdot\lvert\vec n_F\rvert}$
$g$ und $E$	$\vec u$, $\vec n_E$	$\sin(\alpha) = \dfrac{\lvert\vec u\cdot\vec n_E\rvert}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec n_E\rvert}$

Die ersten beiden Zeilen sind dieselbe Rechnung. In der dritten steht $\sin$, weil $\vec n_E$ senkrecht auf der Ebene steht: Der gemessene Winkel $\beta$ zwischen $\vec u$ und $\vec n_E$ ergänzt $\alpha$ zu $90^\circ$.

Flächeninhalte und Volumina

Objekt	Formel
Parallelogramm aus $\vec a$, $\vec b$	$A = \lvert\vec a\times\vec b\rvert$
Dreieck aus $\vec a$, $\vec b$	$A = \tfrac12\cdot\lvert\vec a\times\vec b\rvert$
Spat aus $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$	$V = \bigl\lvert\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)\bigr\rvert$
dreiseitige Pyramide	$V = \tfrac16\cdot\bigl\lvert\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)\bigr\rvert$

Für ein Dreieck $ABC$ nimmt man $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ — zwei Vektoren vom selben Eckpunkt aus.

Höhen bekommt man durch Umstellen: $h = \dfrac{2A}{g}$ im Dreieck, $h = \dfrac{3V}{G}$ in der Pyramide.

Die häufigsten Fallen

Abstand ohne LotIrgendeine Verbindung zur Ebene ist kein Abstand. Nur die Strecke senkrecht zur Ebene zählt.
$t$ statt $2t$ beim SpiegelnMit einfachem $t$ landet man im Lotfußpunkt, nicht im Bildpunkt. Der Bildpunkt liegt doppelt so weit.
Winkel statt SchnittwinkelOhne Betragsstriche kommt bei ungünstiger Wahl der Nebenwinkel $180^\circ - \alpha$ heraus. Für den Schnittwinkel gehören sie immer dazu.
$\sin$ und $\cos$ vertauschtBei Gerade und Ebene liefert der Bruch den Sinus. Wer $\cos^{-1}$ tippt, bekommt den Komplementwinkel — der Fehler fällt nicht auf, weil das Ergebnis plausibel aussieht.
Vektoren aus verschiedenen EckenFür den Innenwinkel bei $A$ müssen beide Vektoren in $A$ starten. $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CA}$ liefern den falschen Winkel.
Fläche und Volumen verwechselt$\lvert\vec a\times\vec b\rvert$ ist eine Fläche (Betrag eines Vektors), $\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)$ ein Volumen (Skalarprodukt). Der Faktor ist $\tfrac12$ beim Dreieck, $\tfrac16$ bei der Pyramide.

Gespiegelt an	Bildpunkt \(P'\)	Der Umkehrpunkt ist …
einem Punkt \(Z\)	\(\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OZ} + \overrightarrow{PZ}\)	\(Z\) selbst
einer Ebene \(E\)	\(\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{PF}\)	der Lotfußpunkt \(F\)

\(\vec a\cdot\vec b\)	Winkel
\(\gt 0\)	spitz, \(\alpha \lt 90^\circ\)
\(= 0\)	rechter Winkel, \(\alpha = 90^\circ\)
\(\lt 0\)	stumpf, \(\alpha \gt 90^\circ\)

Zwischen	gebraucht werden	Formel
\(g\) und \(h\)	\(\vec u\), \(\vec v\)	\(\cos(\alpha) = \dfrac{\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec v\rvert}\)
\(E\) und \(F\)	\(\vec n_E\), \(\vec n_F\)	\(\cos(\alpha) = \dfrac{\lvert\vec n_E\cdot\vec n_F\rvert}{\lvert\vec n_E\rvert\cdot\lvert\vec n_F\rvert}\)
\(g\) und \(E\)	\(\vec u\), \(\vec n_E\)	\(\sin(\alpha) = \dfrac{\lvert\vec u\cdot\vec n_E\rvert}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec n_E\rvert}\)

Objekt	Formel
Parallelogramm aus \(\vec a\), \(\vec b\)	\(A = \lvert\vec a\times\vec b\rvert\)
Dreieck aus \(\vec a\), \(\vec b\)	\(A = \tfrac12\cdot\lvert\vec a\times\vec b\rvert\)
Spat aus \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\)	\(V = \bigl\lvert\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)\bigr\rvert\)
dreiseitige Pyramide	\(V = \tfrac16\cdot\bigl\lvert\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)\bigr\rvert\)

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