Winkel zwischen Vektoren

In Kapitel VI hat das Skalarprodukt nur eine Frage beantwortet: senkrecht oder nicht? Es kann viel mehr — es misst jeden Winkel, nicht nur den rechten.

Ausprobieren

$\vec a$ steht fest, $\vec b$ stellst du mit drei Reglern ein. Der Bogen zeigt den Winkel. Finde Stellungen, bei denen das Skalarprodukt positiv, negativ und genau null ist — und achte darauf, was der Winkel dabei macht.

$\vec a = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, fest $\vec b$ — von dir eingestellt der zu $\vec a$ parallele Anteil $\vec b_\parallel$ der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden

$b_1$ 3

$b_2$ 0

$b_3$ 0

Merke · Winkel und Skalarprodukt

Setzt man zwei Vektoren am selben Punkt an, entstehen zwei Winkel. Der Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec b$ ist immer der kleinere davon, also $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$. Für ihn gilt

$$\vec a\cdot\vec b = \lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec b\rvert\cdot\cos(\alpha) \qquad\text{bzw.}\qquad \cos(\alpha) = \frac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec b\rvert}$$

Beide Vektoren müssen dafür vom Nullvektor verschieden sein — sonst gibt es keine Richtung, zwischen der man messen könnte.

Merke · Das Vorzeichen liest den Winkel

Die Beträge $\lvert\vec a\rvert$ und $\lvert\vec b\rvert$ sind positiv. Das Vorzeichen des Skalarprodukts hängt deshalb allein an $\cos(\alpha)$:

$\vec a\cdot\vec b \gt 0$$\alpha \lt 90^\circ$ — spitzer Winkel, die Vektoren zeigen grob in dieselbe Richtung.
$\vec a\cdot\vec b = 0$$\alpha = 90^\circ$ — genau das Kriterium aus Kapitel VI.
$\vec a\cdot\vec b \lt 0$$\alpha \gt 90^\circ$ — stumpfer Winkel, die Vektoren zeigen auseinander.
$\alpha = 0^\circ$ oder $180^\circ$Die Vektoren sind Vielfache voneinander; dann ist $\lvert\vec a\cdot\vec b\rvert$ so groß wie irgend möglich, nämlich $\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec b\rvert$.

Tipp · Warum die Formel stimmt

Zerlege $\vec b$ in den zu $\vec a$ parallelen Anteil $\vec b_\parallel$ und den dazu senkrechten Anteil $\vec b_\perp$ — der Knopf oben zeigt beide. Weil $\vec a\cdot\vec b_\perp = 0$ ist, bleibt beim Ausmultiplizieren nur

$$\vec a\cdot\vec b = \vec a\cdot\vec b_\parallel = \lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec b_\parallel\rvert$$

Im rechtwinkligen Dreieck ist $\lvert\vec b_\parallel\rvert = \lvert\vec b\rvert\cdot\cos(\alpha)$ — Ankathete durch Hypotenuse. Zusammengesetzt ergibt das genau die Formel im Merkkasten.

Beispiel

Wie groß ist der Winkel zwischen $\vec a = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ und $\vec b = \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}$?

$$\vec a\cdot\vec b = 4 + 0 - 6 = -2, \qquad \lvert\vec a\rvert = 3, \qquad \lvert\vec b\rvert = 5$$

$$\cos(\alpha) = \frac{-2}{3\cdot 5} = -\frac{2}{15} \approx -0{,}1333$$

$$\alpha = \cos^{-1}\!\left(-\tfrac{2}{15}\right) \approx 97{,}7^\circ$$

Das Vorzeichen hat die Antwort schon vorweggenommen: Weil das Skalarprodukt negativ ist, musste der Winkel stumpf sein.

Teste dich

Bestimme den Winkel zwischen $\vec u = \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$ und $\vec v = \begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}$.

$$\vec u\cdot\vec v = 0 + 0 + 0 = 0$$

Also $\cos(\alpha) = 0$ und damit $\alpha = 90^\circ$. Die Beträge muss man gar nicht erst ausrechnen — beim Skalarprodukt $0$ steht das Ergebnis schon fest.

Im Dreieck $ABC$ mit $A(1\,|\,1\,|\,0)$, $B(4\,|\,1\,|\,4)$ und $C(1\,|\,4\,|\,0)$: Wie groß ist der Innenwinkel bei $A$?

Der Winkel bei $A$ liegt zwischen den Vektoren, die von $A$ weg zeigen:

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}$$

$$\cos(\alpha) = \frac{0+0+0}{5\cdot 3} = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 90^\circ$$

Das Dreieck ist bei $A$ rechtwinklig. Achtung: Mit $\overrightarrow{BA}$ statt $\overrightarrow{AB}$ bekäme man den Nebenwinkel — beide Pfeile müssen im Scheitel starten.

Warum ändert sich der Winkel nicht, wenn man $\vec b$ verdoppelt?

Zähler und Nenner werden beide doppelt so groß:

$$\frac{\vec a\cdot(2\vec b)}{\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert 2\vec b\rvert} = \frac{2\,(\vec a\cdot\vec b)}{2\,\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec b\rvert} = \frac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec b\rvert}$$

Der Bruch kürzt sich — $\cos(\alpha)$ und damit $\alpha$ bleiben gleich. Der Winkel hängt eben nur an der Richtung, nicht an der Länge. Genau deshalb darf man bei einer Geraden jeden beliebigen Richtungsvektor nehmen.