Spiegelung und Symmetrie
Spiegeln kennst du aus der Mittelstufe: gleich weit auf der anderen Seite. Im Raum ist das genauso — und mit Vektoren wird daraus ein einziger Rechenschritt: denselben Weg noch einmal gehen.
Schieb den Urbildpunkt \(P\) und wechsle zwischen den beiden Spiegelungen. Blau ist der Weg hin zum Zentrum bzw. zum Lotfußpunkt, grün derselbe Weg noch einmal.
Am Punkt \(Z\): \(P\), \(Z\) und \(P'\) liegen auf einer Geraden, und \(Z\) ist der Mittelpunkt von \(\overline{PP'}\). Man geht also von \(P\) nach \(Z\) und dann dieselbe Verschiebung noch einmal:
$$\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OZ} + \overrightarrow{PZ}$$
An der Ebene \(E\): Der Bildpunkt liegt auf der Lotgeraden von \(P\) auf \(E\). Mit dem Lotfußpunkt \(F\) aus Lerneinheit 1 gilt genau dasselbe Muster:
$$\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{PF}$$
In beiden Fällen ist der „Umkehrpunkt“ (\(Z\) bzw. \(F\)) der Mittelpunkt von \(\overline{PP'}\). Das ist der ganze Trick.
Beim Spiegeln an einer Ebene hast du \(F\) über die Lotgerade \(\vec x = \vec p + t\cdot\vec n\) berechnet. Statt \(F\) erst auszurechnen und dann \(\overrightarrow{PF}\) zu verdoppeln, setzt du einfach den doppelten Parameter ein:
$$\vec p\,' = \vec p + 2t\cdot\vec n$$
Ein Rechenschritt weniger — und weniger Gelegenheit, sich zu verrechnen.
- Zentrum gesuchtSind \(A\) und \(A'\) bekannt, ist \(Z\) der Mittelpunkt: \(Z\!\left(\tfrac{a_1+a_1'}{2}\,\middle|\,\tfrac{a_2+a_2'}{2}\,\middle|\,\tfrac{a_3+a_3'}{2}\right)\).
- Spiegelebene gesucht\(\overrightarrow{AA'}\) steht senkrecht auf \(E\), ist also ein Normalenvektor. Damit steht die linke Seite der Koordinatengleichung fest; \(d\) liefert der Mittelpunkt von \(\overline{AA'}\), denn der liegt in \(E\).
- Symmetrie prüfenZwei Punkte liegen genau dann symmetrisch zu \(E\), wenn \(\overrightarrow{AA'}\) ein Vielfaches von \(\vec n\) ist und der Mittelpunkt in \(E\) liegt. Beides muss stimmen.
a) \(P(4\,|\,1\,|\,6)\) wird an \(Z(1\,|\,3\,|\,2)\) gespiegelt.
$$\overrightarrow{PZ} = \begin{pmatrix}1-4\\3-1\\2-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\2\\-4\end{pmatrix}, \qquad \vec p\,' = \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\2\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\5\\-2\end{pmatrix}$$
Also \(P'(-2\,|\,5\,|\,{-2})\).
b) \(P(4\,|\,1\,|\,6)\) wird an \(E:\ 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 3\) gespiegelt. Lotgerade einsetzen:
$$2(4+2t) + (1+t) - 2(6-2t) = 3 \;\Longleftrightarrow\; -3 + 9t = 3 \;\Longleftrightarrow\; t = \tfrac23$$
Mit der Abkürzung von oben, also \(2t = \tfrac43\):
$$\vec p\,' = \begin{pmatrix}4\\1\\6\end{pmatrix} + \tfrac43\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{20}{3}\\[2pt] \tfrac73\\[2pt] \tfrac{10}{3}\end{pmatrix}$$
Probe: Der Mittelpunkt von \(\overline{PP'}\) ist \(M\!\left(\tfrac{16}{3}\,\middle|\,\tfrac53\,\middle|\,\tfrac{14}{3}\right)\), und \(2\cdot\tfrac{16}{3} + \tfrac53 - 2\cdot\tfrac{14}{3} = \tfrac{32+5-28}{3} = 3\) ✓
Teste dich
\(A(2\,|\,5\,|\,1)\) wird an \(Z(4\,|\,4\,|\,4)\) gespiegelt. Wo liegt \(A'\)?
\(\overrightarrow{AZ} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\), also
$$\vec a\,' = \begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\3\\7\end{pmatrix}$$
Kurz gerechnet geht es auch mit \(\vec a\,' = 2\vec z - \vec a\).
Gegeben sind \(B(1\,|\,0\,|\,3)\) und sein Bildpunkt \(B'(5\,|\,8\,|\,11)\). An welchem Punkt wurde gespiegelt?
Am Mittelpunkt der Strecke \(\overline{BB'}\):
$$Z\!\left(\tfrac{1+5}{2}\,\middle|\,\tfrac{0+8}{2}\,\middle|\,\tfrac{3+11}{2}\right) = Z(3\,|\,4\,|\,7)$$
An welcher Ebene wurde gespiegelt, wenn \(C(1\,|\,2\,|\,1)\) auf \(C'(3\,|\,6\,|\,5)\) abgebildet wird?
Der Verbindungsvektor ist ein Normalenvektor:
$$\overrightarrow{CC'} = \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix} \quad\text{oder kürzer}\quad \vec n = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$$
Die linke Seite lautet also \(x_1 + 2x_2 + 2x_3\). Der Mittelpunkt \(M(2\,|\,4\,|\,3)\) liegt in \(E\), und Einsetzen liefert \(d = 2 + 8 + 6 = 16\):
$$E:\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 16$$