Schnittwinkel
Zwei sich schneidende Geraden bilden vier Winkel, zwei Ebenen ebenso. Welchen davon meint man? Immer den kleinsten — und deshalb steht in allen Formeln dieser Lerneinheit ein Betragsstrich.
Die drei Regler stellen einen Vektor ein. Die Knöpfe entscheiden, was er bedeutet: Richtungsvektor einer Geraden oder Normalenvektor einer Ebene. Dieselben Zahlen — drei verschiedene Bilder.
Der Schnittwinkel ist stets der Winkel mit \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\). Haben \(g\) und \(h\) die Richtungsvektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) und \(E\) und \(F\) die Normalenvektoren \(\vec n_E\) und \(\vec n_F\), so gilt:
| Zwischen | Formel |
|---|---|
| \(g\) und \(h\) | \(\cos(\alpha) = \dfrac{\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec v\rvert}\) |
| \(E\) und \(F\) | \(\cos(\alpha) = \dfrac{\lvert\vec n_E\cdot\vec n_F\rvert}{\lvert\vec n_E\rvert\cdot\lvert\vec n_F\rvert}\) |
| \(g\) und \(E\) | \(\sin(\alpha) = \dfrac{\lvert\vec u\cdot\vec n_E\rvert}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec n_E\rvert}\) |
Die ersten beiden Zeilen sind dieselbe Rechnung — nur heißen die Vektoren einmal Richtungs-, einmal Normalenvektor. Nur die dritte Zeile ist anders.
Eine Gerade hat keine Vorzugsrichtung: \(\vec u\) und \(-\vec u\) beschreiben dieselbe Gerade. Ohne Betrag käme je nach Wahl \(\alpha\) oder der Nebenwinkel \(180^\circ - \alpha\) heraus — zwei Antworten für eine Frage.
Der Betrag im Zähler macht das Skalarprodukt nichtnegativ, also \(\cos(\alpha)\ge 0\) und damit \(\alpha \le 90^\circ\). Egal welchen Richtungsvektor du nimmst: Es kommt immer derselbe Wert heraus. Probier es mit dem Knopf Den Vektor umdrehen.
Der Normalenvektor \(\vec n_E\) steht senkrecht auf der Ebene, nicht in ihr. Rechnet man den Winkel \(\beta\) zwischen \(\vec u\) und \(\vec n_E\) aus, misst man also am falschen Objekt vorbei. Beide Winkel ergänzen sich zu \(90^\circ\):
$$\alpha = 90^\circ - \beta \qquad\text{und}\qquad \cos(\beta) = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$$
Deshalb liefert dieselbe Bruchrechnung hier den Sinus des gesuchten Winkels. Wer das vergisst, bekommt regelmäßig den Komplementwinkel heraus.
Gegeben sind \(g:\ \vec x = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\) und \(E:\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 9\).
a) Schnittwinkel von \(g\) und \(E\):
$$\sin(\alpha) = \frac{\lvert 2 - 2 + 4\rvert}{3\cdot 3} = \frac{4}{9} \;\Longrightarrow\; \alpha \approx 26{,}4^\circ$$
b) Schnittwinkel von \(E\) mit \(F:\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 5\):
$$\cos(\alpha) = \frac{\lvert 2 + 4 + 2\rvert}{3\cdot 3} = \frac{8}{9} \;\Longrightarrow\; \alpha \approx 27{,}3^\circ$$
Beide Male steht unten \(3\cdot 3\) — dieselben Beträge, und trotzdem einmal \(\sin\) und einmal \(\cos\). Auf die Bedeutung der Vektoren kommt es an.
Teste dich
Michael sagt: „Für den Winkel zweier Geraden nehme ich einfach irgendwelche Richtungsvektoren.“ Stimmt das?
Für den Schnittwinkel ja — durch die Betragsstriche fällt jede Vorzeichenwahl heraus, und ein Streckfaktor kürzt sich ohnehin.
Rechnet man dagegen ohne Betrag den Winkel zwischen den Vektoren (Lerneinheit 3), hängt das Ergebnis sehr wohl von der Wahl ab: einmal \(\alpha\), einmal \(180^\circ - \alpha\). Michael hat also recht, solange er den Schnittwinkel meint.
Wie groß ist der Schnittwinkel von \(E:\ x_3 = 4\) und \(F:\ x_1 + x_3 = 0\)?
$$\vec n_E = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, \qquad \vec n_F = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$
$$\cos(\alpha) = \frac{\lvert 0 + 0 + 1\rvert}{1\cdot\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} \;\Longrightarrow\; \alpha = 45^\circ$$
Eine Gerade mit \(\vec u = \begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}\) trifft die Ebene \(E:\ 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 7\). Welchen Winkel schließen sie ein?
$$\sin(\alpha) = \frac{\lvert 0 - 0 + 10\rvert}{5\cdot 3} = \frac{10}{15} = \frac23 \;\Longrightarrow\; \alpha \approx 41{,}8^\circ$$
Zur Kontrolle der Größenordnung: \(\vec u\) und \(\vec n\) schließen \(\beta \approx 48{,}2^\circ\) ein, und \(41{,}8^\circ + 48{,}2^\circ = 90^\circ\) ✓