Pfadregeln und Erwartungswert
Ein Glücksrad, zwei Drehungen. Jeder mögliche Ausgang ist ein Pfad im Baumdiagramm — und alle Wahrscheinlichkeiten des Spiels stecken schon darin. Zwei Regeln holen sie heraus.
Der Regler stellt ein, wie groß das blaue Feld ist. \(T\) heißt „blau“ (Treffer), \(N\) heißt „nicht blau“. Wähl darunter ein Ereignis: Die Pfade, die dazugehören, werden orange.
Jetzt wird gespielt: Einsatz \(1\,€\). Bei genau einem \(T\) bekommst du deinen Einsatz zurück, bei zwei \(T\) werden \(a\,€\) ausgezahlt, sonst nichts. Die Zufallsgröße \(X\) ist dein Gewinn. Finde ein Paar \(p\), \(a\), bei dem das Spiel fair ist.
- ProduktregelDie Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang seines Pfades.
- SummenregelDie Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(E\) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die zu \(E\) gehören.
Weil sich die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse zu \(1\) addieren, gilt für das Gegenereignis \(\overline{E}\):
$$P(\overline{E}) = 1 - P(E)$$
Das ist oft der kürzere Weg: „mindestens einmal“ hat viele Pfade, „nie“ nur einen.
Eine Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu, hier den Gewinn. Nimmt \(X\) die Werte \(x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n\) an, so heißt
$$E(X) = x_1\cdot P(X=x_1) + x_2\cdot P(X=x_2) + \ldots + x_n\cdot P(X=x_n)$$
der Erwartungswert von \(X\). Er sagt, welcher Wert sich auf lange Sicht im Durchschnitt pro Durchführung einstellt — nicht, was in einer einzelnen Runde passiert.
Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns \(0\) ist.
Ein Würfel wird zweimal geworfen. Treffer \(T\) heißt „Sechs“, also \(P(T)=\tfrac16\) und \(P(N)=\tfrac56\).
a) Genau eine Sechs — dazu gehören die Pfade \(TN\) und \(NT\):
$$P(E) = \tfrac16\cdot\tfrac56 + \tfrac56\cdot\tfrac16 = \tfrac{10}{36} = \tfrac{5}{18} \approx 27{,}8\,\%$$
b) Mindestens eine Sechs — über das Gegenereignis „keine Sechs“ geht es mit einem Pfad statt mit dreien:
$$P(\overline{E}) = \tfrac56\cdot\tfrac56 = \tfrac{25}{36} \quad\Rightarrow\quad P(E) = 1 - \tfrac{25}{36} = \tfrac{11}{36} \approx 30{,}6\,\%$$
c) Für \(2\,€\) Einsatz gibt es bei mindestens einer Sechs \(5\,€\) zurück. Der Gewinn \(X\) nimmt die Werte \(3\) und \(-2\) an:
$$E(X) = 3\cdot\tfrac{11}{36} + (-2)\cdot\tfrac{25}{36} = \tfrac{33-50}{36} = -\tfrac{17}{36} \approx -0{,}47$$
Auf lange Sicht verliert man also rund \(47\) ct pro Spiel — unfair.
Teste dich
Ein Glücksrad hat ein blaues Feld mit \(p=0{,}4\). Es wird dreimal gedreht. Wie wahrscheinlich ist „mindestens einmal blau“?
Über das Gegenereignis „nie blau“ — ein einziger Pfad:
$$P(\text{nie blau}) = 0{,}6^3 = 0{,}216$$
$$P(\text{mindestens einmal}) = 1 - 0{,}216 = 0{,}784 = 78{,}4\,\%$$
Warum darf man bei der Summenregel einfach addieren?
Weil verschiedene Pfade verschiedene Ergebnisse beschreiben: Sie können nicht gleichzeitig eintreten. Bei solchen Ereignissen addieren sich die Wahrscheinlichkeiten.
Zwei Ereignisse, die sich überschneiden, darf man dagegen nicht einfach addieren — man würde den gemeinsamen Teil doppelt zählen.
Bei einem Spiel gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}2\) den Betrag \(x\) und verliert sonst \(3\,€\). Für welches \(x\) ist das Spiel fair?
Ansatz \(E(X)=0\):
$$x\cdot 0{,}2 + (-3)\cdot 0{,}8 = 0 \iff 0{,}2\,x = 2{,}4 \iff x = 12$$
Bei einem Gewinn von \(12\,€\) ist das Spiel fair. Auffällig: Je seltener der Gewinn, desto größer muss er ausfallen.