Erwartungswert und Histogramm

Aus $n$ und $p$ allein lassen sich zwei Zahlen ablesen, die das ganze Histogramm beschreiben: wo es steht und wie breit es ist. Beide muss man nicht ausrechnen — man sieht sie.

Ausprobieren

Die rote Linie sitzt beim Erwartungswert $\mu = n\cdot p$ und wandert mit. Orange sind die Säulen im Bereich $\mu-\sigma$ bis $\mu+\sigma$ — der Streubereich einer Standardabweichung.

Erwartungswert $\mu = n\cdot p$ Säulen zwischen $\mu-\sigma$ und $\mu+\sigma$

$n$ 20

$p$ 0,30

Satz · $\mu$ und $\sigma$ der Binomialverteilung

Ist $X$ binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$, so gilt

$$\mu = E(X) = n\cdot p \qquad\text{und}\qquad \sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$$

Der Erwartungswert ist plausibel: Bei $n$ Versuchen mit Trefferquote $p$ erwartet man auf lange Sicht $n\cdot p$ Treffer. Die Formel für $\sigma$ spart die lange Rechnung über alle $n+1$ Summanden.

Die Standardabweichung $\sigma$ misst, wie weit die Werte um $\mu$ streuen: Je größer $\sigma$, desto breiter das Histogramm.

Merke · Das Histogramm lesen

Höchste SäuleIst $\mu$ ganzzahlig, steht sie genau bei $k=\mu$. Sonst steht sie bei einem der beiden benachbarten ganzen Zahlen — nicht immer bei der näheren, und manchmal sind beide gleich hoch.
Lage$\mu$ verschiebt das ganze Bild nach rechts, wenn $n$ oder $p$ wächst.
Breite$\sigma$ ist bei festem $n$ am größten für $p=0{,}5$ und wird zu beiden Rändern hin kleiner. Für $p$ nahe $0$ oder $1$ steht die Verteilung schmal am Rand und ist deutlich unsymmetrisch.
FaustregelIst $\sigma \gt 3$, so liegen rund $68\,\%$ aller Werte im Bereich $\mu \pm \sigma$.

Beispiel · Vier Würfel

Vier Würfel werden geworfen, $X$ zählt die Sechsen. Also $n=4$ und $p=\tfrac16$.

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0{,}482$	$0{,}386$	$0{,}116$	$0{,}015$	$0{,}001$

Über die Definition des Erwartungswerts:

$$E(X) = 0\cdot 0{,}482 + 1\cdot 0{,}386 + 2\cdot 0{,}116 + 3\cdot 0{,}015 + 4\cdot 0{,}001 \approx 0{,}667$$

Mit der Formel geht es in einem Schritt — und liefert dasselbe:

$$\mu = n\cdot p = 4\cdot\tfrac16 = \tfrac23 = 0{,}\overline{6}$$

$$\sigma = \sqrt{4\cdot\tfrac16\cdot\tfrac56} = \sqrt{\tfrac59} \approx 0{,}745$$

Hier ist $\mu$ nicht ganzzahlig, und die höchste Säule steht bei $k=0$ — nicht bei $k=1$, obwohl $1$ näher an $0{,}667$ liegt.

Teste dich

Eine Münze wird $100$-mal geworfen. Bestimme $\mu$ und $\sigma$.

$n=100$, $p=0{,}5$:

$$\mu = 100\cdot 0{,}5 = 50, \qquad \sigma = \sqrt{100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5} = \sqrt{25} = 5$$

Wegen $\sigma \gt 3$ liegen rund $68\,\%$ der Ergebnisse zwischen $45$ und $55$ Wappen — die Antwort auf die Frage vom Kapitelanfang.

Bei welchem $p$ streut eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ am stärksten?

Zu maximieren ist $\sigma^2 = n\cdot p\cdot(1-p)$. Der Term $p(1-p)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei $0$ und $1$, ihr Hochpunkt liegt in der Mitte:

$$p = 0{,}5 \quad\Rightarrow\quad \sigma = \sqrt{n\cdot 0{,}25} = \tfrac12\sqrt{n}$$

Anschaulich: Bei $p$ nahe $0$ oder $1$ ist der Ausgang fast sicher, da streut wenig.

Ein Werk produziert mit $2\,\%$ Ausschuss. In einer Lieferung von $500$ Stück — wie viele defekte Teile sind zu erwarten, und wie stark schwankt das?

$$\mu = 500\cdot 0{,}02 = 10$$

$$\sigma = \sqrt{500\cdot 0{,}02\cdot 0{,}98} = \sqrt{9{,}8} \approx 3{,}13$$

Erwartet werden $10$ defekte Teile; wegen $\sigma \gt 3$ liegen rund $68\,\%$ der Lieferungen zwischen etwa $7$ und $13$ defekten Teilen.

\(x_i\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(P(X=x_i)\)	\(0{,}482\)	\(0{,}386\)	\(0{,}116\)	\(0{,}015\)	\(0{,}001\)