Bedingte Wahrscheinlichkeit
Eine Wahrscheinlichkeit kann sich ändern, sobald man schon etwas weiß. Manchmal ändert sie sich aber gar nicht — dann sind die beiden Ereignisse unabhängig. Beides sieht man an einem einzigen Bild.
Alle Befragten einer Kursstufe füllen genau das Rechteck. Der erste Regler teilt es senkrecht: links die Radfahrer, rechts alle anderen. Die beiden anderen Regler stellen ein, wie hoch der blaue Anteil in der jeweiligen Spalte steht.
Für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) mit \(P(A) \neq 0\) heißt
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
die bedingte Wahrscheinlichkeit von \(B\) unter der Bedingung \(A\). Im Bild ist das genau die Höhe der blauen Fläche in der linken Spalte: Man rechnet nicht mehr mit dem ganzen Rechteck, sondern nur noch mit der Spalte \(A\).
Deshalb steht \(P(A)\) im Nenner — die Spalte wird auf die volle Höhe \(1\) gestreckt.
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) mit \(P(A) \neq 0\) und \(P(B) \neq 0\) heißen stochastisch unabhängig, wenn
$$P_A(B) = P(B)$$
gilt: Die Bedingung \(A\) ändert an der Wahrscheinlichkeit von \(B\) nichts. Das ist gleichwertig zur Produktform
$$P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)$$
Im Bild heißt das: Beide Spalten sind gleich hoch blau, die Stufe verschwindet. Die Produktform ist zum Rechnen bequemer, weil sie \(A\) und \(B\) gleich behandelt — ist \(A\) unabhängig von \(B\), so auch umgekehrt.
Die vier Felder in der Mitte sind die Wahrscheinlichkeiten der vier Kombinationen, am Rand stehen ihre Summen. Zwei Felder genügen oft schon, um die Tafel zu vervollständigen — man rechnet über die Zeilen- und Spaltensummen weiter.
Aus der Tafel liest man jede bedingte Wahrscheinlichkeit als Quotient ab: Feld in der Mitte geteilt durch die Summe seiner Zeile ergibt \(P_A(B)\), geteilt durch die Summe seiner Spalte ergibt \(P_B(A)\). Die beiden sind im Allgemeinen verschieden.
Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit \(4\,\%\) defekt. Ein defektes Bauteil erkennt die Prüfung mit \(95\,\%\); ein einwandfreies wird trotzdem in \(6\,\%\) der Fälle beanstandet.
Mit \(D\): „defekt“ und \(M\): „beanstandet“ ergibt die Produktregel zuerst die inneren Felder:
$$P(D\cap M) = 0{,}04\cdot 0{,}95 = 0{,}038, \qquad P(\overline{D}\cap M) = 0{,}96\cdot 0{,}06 = 0{,}0576$$
| \(M\) | \(\overline{M}\) | ||
|---|---|---|---|
| \(D\) | \(0{,}038\) | \(0{,}002\) | \(0{,}04\) |
| \(\overline{D}\) | \(0{,}0576\) | \(0{,}9024\) | \(0{,}96\) |
| \(0{,}0956\) | \(0{,}9044\) | \(1\) |
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beanstandetes Bauteil wirklich defekt ist?
$$P_M(D) = \frac{P(M \cap D)}{P(M)} = \frac{0{,}038}{0{,}0956} \approx 0{,}397$$
Nur rund \(40\,\%\) — obwohl der Test defekte Teile fast immer erkennt. Der Grund: Es gibt sehr viel mehr einwandfreie Teile, und deren \(6\,\%\) Fehlalarm sind in absoluten Zahlen mehr als die echten Defekte.
Teste dich
Es ist \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}3\) und \(P(A\cap B)=0{,}15\). Sind \(A\) und \(B\) unabhängig?
Produktform prüfen:
$$P(A)\cdot P(B) = 0{,}5\cdot 0{,}3 = 0{,}15 = P(A\cap B)$$
Ja, die Ereignisse sind stochastisch unabhängig. Zur Kontrolle: \(P_A(B) = \frac{0{,}15}{0{,}5} = 0{,}3 = P(B)\).
Warum ist \(P_A(B)\) meistens etwas anderes als \(P_B(A)\)?
Beide Male steht \(P(A\cap B)\) im Zähler, aber der Nenner ist ein anderer: einmal \(P(A)\), einmal \(P(B)\).
$$P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}, \qquad P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
Im Bild: Man streckt einmal die Spalte auf volle Höhe und einmal die Zeile auf volle Breite. Nur wenn \(P(A)=P(B)\) ist, kommt dasselbe heraus.
Ein Ereignis \(A\) hat \(P(A)=0{,}6\), und \(A\) und \(B\) sind unabhängig mit \(P(B)=0{,}25\). Wie groß ist \(P(A\cap \overline{B})\)?
Ist \(A\) von \(B\) unabhängig, so auch von \(\overline{B}\) — der Rest der Spalte verhält sich genauso:
$$P(A\cap\overline{B}) = P(A)\cdot P(\overline{B}) = 0{,}6\cdot 0{,}75 = 0{,}45$$
Probe über die Zeile: \(0{,}6\cdot 0{,}25 + 0{,}45 = 0{,}15+0{,}45 = 0{,}6\).