Normalverteilung

Ein Histogramm besteht aus Säulen, und Säulen sind kantig. Macht man $n$ aber immer größer, wird aus der Treppe eine Kurve — und zwar immer dieselbe, ganz gleich womit man angefangen hat.

Ausprobieren

Blau ist die Binomialverteilung zu $n$ und $p$, rot die Gauß’sche Glockenkurve zu denselben $\mu$ und $\sigma$. Der Ausschnitt wandert mit — geschaut wird immer auf $\mu \pm 4\sigma$. Dreh $n$ hoch.

$P(X=k)$ der Binomialverteilung Glockenkurve $\varphi_{\mu;\,\sigma}$

$n$ 8

$p$ 0,50

Merke · Diskret und stetig

Diskrete ZufallsgrößeNimmt nur einzelne Werte an, hier $0,\ 1,\ \ldots,\ n$. Eine Wahrscheinlichkeit ist die Höhe einer Säule, und $P(X=k)$ ist eine echte Zahl größer als $0$.
Stetige ZufallsgrößeKann jede reelle Zahl annehmen — Körpergröße, Masse, Wartezeit. Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Fläche unter einer Kurve, also ein Integral.

Daraus folgt etwas Ungewohntes: Bei einer stetigen Zufallsgröße ist

$$P(X=a) = \int_a^a \varphi_{\mu;\,\sigma}(x)\,\mathrm{d}x = 0$$

für jede Zahl $a$ — eine Fläche ohne Breite. Deshalb spielt es keine Rolle, ob die Grenzen dazugehören:

$$P(a \le X \le b) = P(a \lt X \lt b)$$

Bei der Binomialverteilung ist dieser Unterschied dagegen entscheidend: $P(X\le 5)$ und $P(X\lt 5)$ unterscheiden sich um die ganze Säule $P(X=5)$.

Definition · Normalverteilung

Eine stetige Zufallsgröße $X$ heißt normalverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$, wenn für alle $a \le b$ gilt:

$$P(a \le X \le b) = \int_a^b \varphi_{\mu;\,\sigma}(x)\,\mathrm{d}x$$

Dabei ist $\varphi_{\mu;\,\sigma}$ die Gauß’sche Glockenfunktion:

$$\varphi_{\mu;\,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Ihr Graph heißt Gauß’sche Glockenkurve. Auswendig lernen muss man den Term nicht — aber man erkennt die Bausteine aus Kapitel II wieder: ein $e$-Term mit negativem Exponenten, deshalb fällt die Kurve nach beiden Seiten rasch gegen $0$.

Merke · Die Glockenkurve skizzieren

Für eine Skizze braucht man nur $\mu$ und $\sigma$:

Hochpunkt bei $x=\mu$Die Höhe dort ist $\varphi_{\mu;\,\sigma}(\mu) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$.
Wendepunkte bei $x=\mu-\sigma$ und $x=\mu+\sigma$Dort geht die Kurve vom Rechts- ins Linksgekrümmte über — genau eine Standardabweichung neben dem Gipfel.
Achsensymmetrisch zur Geraden $x=\mu$Links und rechts sieht die Kurve gleich aus.
Gesamtfläche $1$Die Fläche zwischen Kurve und $x$-Achse ist immer $1$ — deshalb wird die Kurve flacher, wenn sie breiter wird.

Also: $\mu$ verschiebt die Kurve, $\sigma$ streckt sie in die Breite und drückt sie dabei in der Höhe zusammen.

Die $\sigma$-Regeln

Bereich	Wahrscheinlichkeit
$\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma$	$\approx 68{,}3\,\%$
$\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma$	$\approx 95{,}4\,\%$
$\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma$	$\approx 99{,}7\,\%$

Diese Werte hängen nicht von $\mu$ und $\sigma$ ab — sie gelten für jede Normalverteilung. Damit lässt sich vieles ohne WTR abschätzen.

Der WTR-Befehl heißt meist normal cdf; er will eine untere und eine obere Grenze. Für „höchstens $a$“ gibt man als untere Grenze eine sehr kleine Zahl ein, für „mindestens $a$“ als obere eine sehr große.

Beispiel · Abfüllanlage

Eine Anlage füllt Flaschen. Die Füllmenge $X$ (in ml) ist näherungsweise normalverteilt mit $\mu = 500$ und $\sigma = 3$.

a) Anteil zwischen $497$ und $503$ ml. Das ist genau $\mu \pm \sigma$, also ohne Rechnung:

$$P(497 \le X \le 503) \approx 68{,}3\,\%$$

b) Anteil zwischen $495$ und $505$ ml — mit dem WTR:

$$P(495 \le X \le 505) \approx 0{,}9044$$

c) Anteil mit weniger als $494$ ml. Untere Grenze sehr klein wählen:

$$P(X \lt 494) \approx 0{,}0228$$

Das sind gut $2\,\%$ — und weil $494 = \mu - 2\sigma$ ist, passt das zur $2\sigma$-Regel: Außerhalb liegen $100\,\% - 95{,}4\,\% = 4{,}6\,\%$, und davon die Hälfte unterhalb.

Teste dich

Zwei Glockenkurven haben dasselbe $\mu$, aber die eine ist deutlich höher. Welche hat das größere $\sigma$?

Die flachere. Die Fläche unter jeder Glockenkurve ist $1$; wird die Kurve breiter, muss sie flacher werden.

Rechnerisch steht $\sigma$ im Nenner der Maximalhöhe $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ — großes $\sigma$, kleiner Gipfel.

Die Körpergröße einer Gruppe ist normalverteilt mit $\mu = 170$ cm und $\sigma = 8$ cm. Wie groß ist $P(162 \le X \le 178)$?

Es ist $162 = \mu-\sigma$ und $178 = \mu+\sigma$, also greift die erste $\sigma$-Regel:

$$P(162 \le X \le 178) \approx 68{,}3\,\%$$

Mit dem WTR käme $0{,}6827$ heraus — dieselbe Zahl.

Worin unterscheiden sich binomialverteilte und normalverteilte Zufallsgrößen?

WerteBinomialverteilt: nur die ganzen Zahlen $0$ bis $n$. Normalverteilt: jede reelle Zahl.
WahrscheinlichkeitBinomialverteilt: die Höhe einer Säule, berechnet mit der Formel von Bernoulli. Normalverteilt: eine Fläche unter der Glockenkurve, berechnet als Integral.
EinzelwertBinomialverteilt ist $P(X=k) \gt 0$, normalverteilt ist $P(X=a) = 0$.
ParameterBinomialverteilt $n$ und $p$, daraus $\mu = n\cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}$. Normalverteilt sind $\mu$ und $\sigma$ selbst die Parameter.

Gemeinsam ist ihnen die Form: Für großes $n$ sieht das Histogramm aus wie die Glockenkurve — das ist genau die Beobachtung aus dem Schaubild oben.

Bereich	Wahrscheinlichkeit
\(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma\)	\(\approx 68{,}3\,\%\)
\(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma\)	\(\approx 95{,}4\,\%\)
\(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma\)	\(\approx 99{,}7\,\%\)