Rückblick
Alles aus Kapitel VIII auf einen Blick — zum Wiederholen vor Test oder Prüfung.
| Regel | Anwendung |
|---|---|
| Produktregel | Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren — ergibt die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses |
| Summenregel | Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Ereignisses addieren |
| Gegenereignis | \(P(\overline{E}) = 1 - P(E)\) — der kurze Weg bei „mindestens“ |
$$E(X) = x_1\cdot P(X=x_1) + x_2\cdot P(X=x_2) + \ldots + x_n\cdot P(X=x_n)$$
\(E(X)\) gibt an, welcher Wert für \(X\) auf lange Sicht durchschnittlich pro Durchführung zu erwarten ist.
Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns \(0\) ist. Der Ansatz für eine gesuchte Auszahlung lautet also \(E(X) = 0\).
Wahrscheinlichkeit von \(B\) unter der Bedingung, dass \(A\) eingetreten ist:
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
In der Vierfeldertafel ist das der Wert eines inneren Feldes, geteilt durch die Summe seiner Zeile. Im Allgemeinen ist \(P_A(B) \neq P_B(A)\).
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(P(A\cap B)\) | \(P(A\cap\overline{B})\) | \(P(A)\) |
| \(\overline{A}\) | \(P(\overline{A}\cap B)\) | \(P(\overline{A}\cap\overline{B})\) | \(P(\overline{A})\) |
| \(P(B)\) | \(P(\overline{B})\) | \(1\) |
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn
$$P_A(B) = P(B) \qquad\text{bzw. gleichwertig}\qquad P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$$
Zum Prüfen nimmt man die Produktform: beide Randwerte multiplizieren und mit dem inneren Feld vergleichen.
Zählt \(X\) die Treffer einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), so ist \(X\) binomialverteilt (kurz \(B_{n;\,p}\)-verteilt), und für \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n\) gilt:
$$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{\,n-k}$$
Die kumulierte Wahrscheinlichkeit ist \(P(X\le k) = P(X=0) + \ldots + P(X=k)\).
| gefragt | gerechnet als |
|---|---|
| genau \(k\) | \(P(X=k)\) |
| höchstens \(k\) | \(P(X\le k)\) |
| mindestens \(k\) | \(1 - P(X\le k-1)\) |
| zwischen \(a\) und \(b\) | \(P(X\le b) - P(X\le a-1)\) |
Für eine \(B_{n;\,p}\)-verteilte Zufallsgröße gilt
$$\mu = E(X) = n\cdot p \qquad\text{und}\qquad \sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$$
- LageIst \(\mu\) ganzzahlig, steht die höchste Säule bei \(k=\mu\); sonst bei einer der beiden benachbarten ganzen Zahlen.
- BreiteJe größer \(\sigma\), desto breiter das Histogramm. Bei festem \(n\) ist \(\sigma\) für \(p=0{,}5\) am größten.
- FaustregelIst \(\sigma \gt 3\), so liegen etwa \(68\,\%\) der Werte im Bereich \(\mu \pm \sigma\).
| gesucht | Vorgehen |
|---|---|
| \(P(X=k)\), \(P(X\le k)\) | direkt einsetzen bzw. WTR |
| \(n\) | Ungleichung aufstellen, \(n\) schrittweise erhöhen |
| \(p\) | \(p\) systematisch probieren; bei \(k=1\) auch algebraisch |
| \(k\) | kumulierte Werte durchgehen, bis die Schranke erreicht ist |
Der Standardansatz für „mindestens \(k\) Treffer mit mindestens \(q\)“:
$$P(X\ge k) \ge q \iff 1 - P(X\le k-1) \ge q \iff P(X\le k-1) \le 1-q$$
Eine stetige Zufallsgröße \(X\) heißt normalverteilt mit \(\mu\) und \(\sigma\), wenn für \(a \le b\) gilt:
$$P(a \le X \le b) = \int_a^b \varphi_{\mu;\,\sigma}(x)\,\mathrm{d}x, \qquad \varphi_{\mu;\,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
Die zugehörige Gauß’sche Glockenkurve hat den Hochpunkt bei \(x = \mu\) und die Wendepunkte bei \(x = \mu \pm \sigma\); sie ist achsensymmetrisch zu \(x=\mu\), und die Gesamtfläche unter ihr ist \(1\).
| Bereich | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| \(\mu \pm \sigma\) | \(\approx 68{,}3\,\%\) |
| \(\mu \pm 2\sigma\) | \(\approx 95{,}4\,\%\) |
| \(\mu \pm 3\sigma\) | \(\approx 99{,}7\,\%\) |
| binomialverteilt | normalverteilt | |
|---|---|---|
| Werte | \(0,\ 1,\ \ldots,\ n\) (diskret) | alle reellen Zahlen (stetig) |
| Wahrscheinlichkeit | Höhe einer Säule | Fläche unter der Kurve |
| Einzelwert | \(P(X=k) \gt 0\) | \(P(X=a) = 0\) |
| Parameter | \(n\) und \(p\) | \(\mu\) und \(\sigma\) |
| Werkzeug | Formel von Bernoulli, binomial cdf | Integral, normal cdf |
Beide hängen zusammen: Wird \(n\) groß, so schmiegt sich das Histogramm der Binomialverteilung immer besser an die Glockenkurve mit denselben \(\mu\) und \(\sigma\) an. Brauchbar wird die Näherung ab \(\sigma \gt 3\).
- Grenze bei „mindestens“Das Gegenteil von „mindestens \(k\)“ ist „höchstens \(k-1\)“ — nicht „höchstens \(k\)“. Ein Schritt daneben, und die ganze Rechnung stimmt nicht.
- Ungleichung nicht gedrehtAus \(1 - P(X\le k-1) \ge q\) wird \(P(X\le k-1) \le 1-q\). Beim Multiplizieren mit \(-1\) dreht sich das Zeichen.
- Ohne ZurücklegenDann ändert sich \(p\) von Zug zu Zug — keine Bernoulli-Kette, die Formel von Bernoulli gilt nicht.
- \(P_A(B)\) mit \(P_B(A)\) verwechseltDer Zähler ist derselbe, der Nenner nicht. „Wahrscheinlichkeit für \(B\), wenn \(A\)“ heißt: durch \(P(A)\) teilen.
- Unabhängigkeit behauptet„Hat nichts miteinander zu tun“ ist kein Nachweis. Geprüft wird mit \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\).
- \(\sigma\) statt \(\sigma^2\)In \(\sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}\) steht die Wurzel. Ohne sie erhält man die Varianz, nicht die Standardabweichung.
- Einzelwert bei stetiger Größe\(P(X = 500)\) ist bei einer normalverteilten Zufallsgröße \(0\) — gefragt ist immer ein Bereich.
- Vertiefte Kenntnisse über die Binomialverteilung anwendenEinzelne und kumulierte Wahrscheinlichkeiten bestimmen, \(\mu\) und \(\sigma\) berechnen und rückwärts \(n\), \(p\) oder \(k\) suchen.
- Binomial- und Normalverteilung unterscheidenDiskret gegen stetig, Säule gegen Fläche — und wissen, wann die eine die andere annähert.
- Eine Glockenkurve skizzierenHochpunkt bei \(\mu\), Wendepunkte bei \(\mu \pm \sigma\), achsensymmetrisch, Gesamtfläche \(1\).
- Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen bestimmenAls Fläche unter der Glockenkurve — mit den \(\sigma\)-Regeln im Kopf oder mit normal cdf auf dem WTR.
Zuordnen
Tippe je zwei Karten an, die zusammengehören.