Formel von Bernoulli
Ein Baumdiagramm für \(20\) Versuche hat über eine Million Pfade — das zeichnet niemand mehr. Man braucht es auch nicht: Alle Pfade zu \(k\) Treffern sind gleich wahrscheinlich. Zu wissen, wie viele es sind, genügt.
Jede Säule ist eine Trefferzahl \(k\). Der dritte Regler greift eine heraus; unter dem Bild steht, aus welchen drei Faktoren ihre Höhe entsteht.
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment. Die Ausgänge heißen Treffer und Niete, die Trefferwahrscheinlichkeit heißt \(p\).
Wiederholt man es \(n\)-mal, und sind die Durchführungen voneinander unabhängig, so entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge \(n\). Zählt \(X\) die Treffer, so heißt \(X\) binomialverteilt mit den Parametern \(n\) und \(p\), kurz \(B_{n;\,p}\)-verteilt.
Zwei Dinge müssen also stimmen: gleiches \(p\) in jeder Durchführung und Unabhängigkeit. Ziehen ohne Zurücklegen ist deshalb keine Bernoulli-Kette.
Ist \(X\) binomialverteilt mit den Parametern \(n\) und \(p\), so gilt für \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n\):
$$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{\,n-k}$$
- \(p^k\cdot(1-p)^{\,n-k}\)Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit \(k\) Treffern — Produktregel entlang des Pfades. Sie ist für alle diese Pfade gleich, weil dieselben Faktoren nur in anderer Reihenfolge stehen.
- \(\binom{n}{k}\)Die Anzahl dieser Pfade: So viele Möglichkeiten gibt es, aus \(n\) Plätzen \(k\) für die Treffer auszuwählen. Aufsummiert wird nach der Summenregel — daher der Faktor.
Die Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer
$$P(X\le k) = P(X=0) + P(X=1) + \ldots + P(X=k)$$
heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit.
$$\binom{n}{k} = \frac{n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot 1}$$
Oben und unten stehen jeweils \(k\) Faktoren. Auf dem WTR heißen die Befehle meist binomial pdf für \(P(X=k)\) und binomial cdf für \(P(X\le k)\) — damit ist die ganze Formel eine Eingabe.
Nützlich sind zwei Sonderfälle: \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\) und \(\binom{n}{1} = n\). Außerdem ist \(\binom{n}{k} = \binom{n}{\,n-k}\) — Treffer auswählen oder Nieten auswählen ist dieselbe Entscheidung.
Ein Test hat \(8\) Fragen mit je \(4\) Antworten, davon genau eine richtig. Jemand rät alle Antworten. \(X\) zählt die richtigen; \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=8\) und \(p=0{,}25\).
a) Genau \(3\) richtige Antworten:
$$P(X=3) = \binom{8}{3}\cdot 0{,}25^3\cdot 0{,}75^5 = 56\cdot 0{,}015625\cdot 0{,}2373 \approx 0{,}2076$$
b) Höchstens \(2\) richtige Antworten — drei Summanden:
$$P(X\le 2) = 0{,}1001 + 0{,}2670 + 0{,}3115 \approx 0{,}6785$$
c) Mindestens \(3\) richtige Antworten. Statt sechs Summanden nimmt man das Gegenereignis aus b):
$$P(X\ge 3) = 1 - P(X\le 2) \approx 0{,}3215$$
Wer rät, schafft die Hälfte der Fragen also nur selten: \(P(X\ge 4)\) liegt bei knapp \(11\,\%\).
Teste dich
Ein Würfel wird \(10\)-mal geworfen. Wie wahrscheinlich sind genau drei Sechsen?
Treffer heißt „Sechs“, also \(n=10\) und \(p=\tfrac16\):
$$P(X=3) = \binom{10}{3}\cdot\left(\tfrac16\right)^3\cdot\left(\tfrac56\right)^7 = 120\cdot\tfrac{1}{216}\cdot\tfrac{78125}{279936} \approx 0{,}155$$
Warum steht in der Formel ein Faktor vor \(p^k(1-p)^{n-k}\), obwohl doch nur multipliziert und addiert wird?
Beides steckt darin. Die Produktregel liefert \(p^k(1-p)^{n-k}\) — die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades. Die Summenregel verlangt, alle Pfade mit \(k\) Treffern zu addieren.
Weil alle diese Pfade dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, ist die Summe gleich „Anzahl mal Wert“ — und die Anzahl ist \(\binom{n}{k}\).
Aus einer Urne mit \(4\) roten und \(6\) blauen Kugeln wird dreimal ohne Zurücklegen gezogen. Ist die Anzahl der roten Kugeln binomialverteilt?
Nein. Ohne Zurücklegen ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit von Zug zu Zug: Beim ersten Zug ist sie \(\tfrac{4}{10}\), danach je nach Ausgang \(\tfrac39\) oder \(\tfrac49\).
Damit sind die Züge weder unabhängig, noch haben sie ein gemeinsames \(p\) — es liegt keine Bernoulli-Kette vor. Mit Zurücklegen wäre alles erfüllt.