Grundlagen der Differenzialrechnung
Wie schnell ändert sich etwas — die Höhe einer Rakete, ein Gewinn, ein Pegelstand? Die Ableitung gibt die Antwort. In diesem Kapitel wiederholst und vertiefst du alles rund ums Ableiten: von der Tangente über die Ableitungsregeln bis zu Hoch-, Tief- und Wendepunkten.
Das solltest du schon können
Vier schnelle Fragen zum Vorwissen. Überleg dir erst selbst eine Antwort und klapp dann auf — all das brauchst du in diesem Kapitel ständig.
Welche Lösungen hat die Gleichung \(x^2-5x=0\)?
Ausklammern: \(x\cdot(x-5)=0\). Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist (Satz vom Nullprodukt) — also \(x_1=0\) und \(x_2=5\).
Genau so löst du später ständig \(f'(x)=0\).
Multipliziere aus und fasse zusammen: \((2-x)\cdot(x+3)\)
Jeder Summand mit jedem:
$$(2-x)\cdot(x+3) = 2x+6-x^2-3x = -x^2-x+6$$
Eine Gerade hat die Steigung \(3\) und geht durch \(A(1\,|\,5)\). Wie lautet ihre Gleichung?
In \(y=mx+b\) ist \(m=3\). Den Punkt \(A\) einsetzen: \(5=3\cdot 1+b\), also \(b=2\) und \(y=3x+2\).
Diese Rechnung steckt später in jeder Tangentengleichung.
Gegeben ist \(f(x)=x^3-2x\). Was ist \(f(-2)\)?
Vorsicht mit den Vorzeichen:
$$f(-2)=(-2)^3-2\cdot(-2)=-8+4=-4$$