Monotonie und Krümmung
Steigt der Graph oder fällt er? Und macht er dabei eine Links- oder eine Rechtskurve? Beides liest man an \(f'\) und \(f''\) ab.
\(f\) heißt streng monoton wachsend, wenn aus \(x_1 < x_2\) stets \(f(x_1) < f(x_2)\) folgt — die Funktionswerte nehmen nur zu.
\(f\) heißt streng monoton fallend, wenn aus \(x_1 < x_2\) stets \(f(x_1) > f(x_2)\) folgt — die Funktionswerte nehmen nur ab.
Ist \(f\) im Intervall \(I\) differenzierbar, dann gilt:
\(f'(x) > 0\) für alle \(x\) aus \(I\) → \(f\) ist streng monoton wachsend.
\(f'(x) < 0\) für alle \(x\) aus \(I\) → \(f\) ist streng monoton fallend.
\(f''(x) > 0\) in \(I\) → der Graph ist eine Linkskurve (das Lenkrad geht nach links, die Steigung nimmt zu).
\(f''(x) < 0\) in \(I\) → der Graph ist eine Rechtskurve (die Steigung nimmt ab).
Fahre über den Graphen von \(f(x)=\tfrac13 x^3-\tfrac12 x^2-2x+1\). Die Farbe zeigt das Vorzeichen von \(f'\) bzw. \(f''\) an der Stelle.
Für \(f(x)=\tfrac13 x^3-\tfrac12 x^2-2x+1\) ist \(f'(x)=x^2-x-2\).
1. Nullstellen von \(f'\): \(x^2-x-2=0\) liefert \(x_1=-1\) und \(x_2=2\).
2. Vorzeichen prüfen: \(f'(-2)=4>0\), \(f'(0)=-2<0\), \(f'(3)=4>0\).
3. Ergebnis: \(f\) ist auf \((-\infty;-1)\) und \((2;\infty)\) streng monoton wachsend, auf \((-1;2)\) streng monoton fallend.
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Wo ist \(f(x)=x^2\) streng monoton fallend bzw. wachsend?
\(f'(x)=2x\): Für \(x<0\) ist \(f'(x)<0\) (fallend), für \(x>0\) ist \(f'(x)>0\) (wachsend).
Gilt die Umkehrung des Monotoniesatzes? (Tipp: \(f(x)=x^3\))
Nein. \(f(x)=x^3\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend, aber \(f'(0)=0\) — es gilt also nicht überall \(f'(x)>0\).
Der Graph ist eine Rechtskurve. Was weißt du über \(f''\) und die Steigung?
\(f''(x)<0\) im Intervall. Die Steigung \(f'\) nimmt dort ab — der Graph „dreht nach rechts“.