Differenzialrechnung in Sachsituationen
Im (mündlichen!) Abitur kommt die Ableitung fast immer verkleidet daher — als Wasserstand, Gewinn oder Besucherzahl. Du musst zwischen Alltagssprache und Mathematik übersetzen können. Diese Tabelle ist dein Wörterbuch:
| Alltagssprache (Bestand \(f\), Zeit \(t\)) | Mathematik |
|---|---|
| „Der Bestand nimmt zu.“ | \(f\) streng monoton wachsend, \(f'>0\) |
| „Der Bestand nimmt ab.“ | \(f\) streng monoton fallend, \(f'<0\) |
| „Bei \(t_0\) ist der Bestand am größten.“ | \(f(t_0)\) ist lokales Maximum |
| „… am größten im ganzen Zeitraum.“ | \(f(t_0)\) ist globales Maximum |
| „Der Bestand bleibt gleich.“ | \(f(t)=k\) in dem Zeitraum |
| „Der Bestand wächst am stärksten.“ | \(t_0\) ist Wendestelle, \(f'(t_0)\) maximal |
| „Er wächst, aber immer langsamer.“ | \(f'>0\) und Rechtskurve, \(f''<0\) |
Ein Ball wird schräg nach oben geworfen. \(h(x)\) ist seine Höhe (in m) bei der waagerechten Entfernung \(x\) (in m) vom Abwurfpunkt. Wirf den Ball — oder schieb ihn von Hand — und lies ab, was \(h'\) über den Flug verrät.
Ist eine Funktion nur auf einem Intervall \([a;b]\) definiert, können auch die Randwerte \(f(a)\) und \(f(b)\) die größten oder kleinsten Werte sein — dort muss die Tangente nicht waagerecht sein.
Beim Ball: Bei \(x=0\) steigt er am steilsten, mit \(h'(0)=1{,}6\), also im Winkel von etwa \(58^\circ\). Und bei \(x=9\) ist \(h(9)=0\) der kleinste Wert — ein Randminimum, obwohl \(h'(9)=-2\) ist.
Die Besucherzahl eines Freibads: \(B(t)=-t^3+12t^2+60t\) (\(t\) in Stunden nach Öffnung). Wann ist der Andrang am größten?
Gesucht ist das Maximum der Änderungsrate \(B'\), nicht von \(B\): \(B'(t)=-3t^2+24t+60\), \(B''(t)=-6t+24\).
\(B''(t)=0\) liefert \(t=4\) mit Vorzeichenwechsel \(+ \to -\), also ist \(B'\) dort maximal. Vier Stunden nach Öffnung wächst die Besucherzahl am schnellsten — die Wendestelle von \(B\).
Teste dich: Zuordnen
Tippe zwei Karten an, die zusammengehören.