Differenzialrechnung in Sachsituationen
Im Abitur kommt die Ableitung fast immer verkleidet daher — als Wasserstand, Gewinn oder Besucherzahl. Die Kunst ist das Übersetzen.
| Alltagssprache (Bestand \(f\), Zeit \(t\)) | Mathematik |
|---|---|
| „Der Bestand nimmt zu.“ | \(f\) streng monoton wachsend, \(f'>0\) |
| „Der Bestand nimmt ab.“ | \(f\) streng monoton fallend, \(f'<0\) |
| „Bei \(t_0\) ist der Bestand am größten.“ | \(f(t_0)\) ist lokales Maximum |
| „… am größten im ganzen Zeitraum.“ | \(f(t_0)\) ist globales Maximum |
| „Der Bestand bleibt gleich.“ | \(f(t)=k\) in dem Zeitraum |
| „Der Bestand wächst am stärksten.“ | \(t_0\) ist Wendestelle, \(f'(t_0)\) maximal |
| „Er wächst, aber immer langsamer.“ | \(f'>0\) und Rechtskurve, \(f''<0\) |
Das Diagramm zeigt den Wasserstand in einem Regenrückhaltebecken. Fahre über den Graphen — unten erscheint die Beschreibung in beiden Sprachen.
Die Besucherzahl eines Freibads: \(B(t)=-t^3+12t^2+60t\) (\(t\) in Stunden nach Öffnung). Wann ist der Andrang am größten?
Gesucht ist das Maximum der Änderungsrate \(B'\), nicht von \(B\): \(B'(t)=-3t^2+24t+60\), \(B''(t)=-6t+24\).
\(B''(t)=0\) liefert \(t=4\) mit Vorzeichenwechsel \(+ \to -\), also ist \(B'\) dort maximal. Vier Stunden nach Öffnung wächst die Besucherzahl am schnellsten — die Wendestelle von \(B\).
Bei Funktionen auf einem Intervall \([a;b]\) immer auch die Ränder prüfen: \(f(a)\) und \(f(b)\) können globale Extrema sein, obwohl dort \(f' \neq 0\) ist.
Teste dich: Zuordnen
Tippe zwei Karten an, die zusammengehören.