Rückblick · Grundlagen der Differenzialrechnung

Ableitung & Tangente

Ableitung an der Stelle $a$, also die Steigung des Graphen dort:

$$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

Tangente im Punkt $P(a\,|\,f(a))$: $\;y=f'(a)\cdot(x-a)+f(a)$

Regel	Funktion	Ableitung	Beispiel
Potenzregel	$x^r$	$r\cdot x^{r-1}$	$(x^5)'=5x^4$
Faktorregel	$c\cdot g(x)$	$c\cdot g'(x)$	$(3x^2)'=6x$
Summenregel	$g(x)+h(x)$	$g'(x)+h'(x)$	$(x^2+x)'=2x+1$
Lineare Kettenregel	$u(mx+c)$	$m\cdot u'(mx+c)$	$(\sin(2x))'=2\cos(2x)$
Produktregel	$u(x)\cdot v(x)$	$u'v+uv'$	$(x\sin x)'=\sin x + x\cos x$

$f(x)$	$c$	$x^n$	$\sqrt{x}$	$\frac1x$	$\sin x$	$\cos x$
$f'(x)$	$0$	$nx^{n-1}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$-\frac{1}{x^2}$	$\cos x$	$-\sin x$

Monotonie & Krümmung

$f'(x)>0$ in $I$ → $f$ streng monoton wachsend

$f'(x)<0$ in $I$ → $f$ streng monoton fallend

$f''(x)>0$ in $I$ → Graph ist Linkskurve ↺

$f''(x)<0$ in $I$ → Graph ist Rechtskurve ↻

Innere Stelle $x_0$	Bedingung	… und zusätzlich
Maximumstelle	$f'(x_0)=0$	$f''(x_0)<0$ oder VZW von $f'$: $+ \to -$
Minimumstelle	$f'(x_0)=0$	$f''(x_0)>0$ oder VZW von $f'$: $- \to +$
Wendestelle	$f''(x_0)=0$	$f'''(x_0)\neq 0$ oder VZW von $f''$

Wendepunkt mit waagerechter Tangente: Sattelpunkt. Auf $[a;b]$ zusätzlich die Ränder $f(a)$, $f(b)$ vergleichen (Randextrema).

Sachsituationen

„steigt / fällt“ → Vorzeichen von $f'$ · „am größten / kleinsten“ → Extremum von $f$ · „stärkste Zu-/Abnahme“ → Wendestelle, also Extremum von $f'$ · „immer langsamer / schneller“ → Krümmung, also $f''$

Regel	Funktion	Ableitung	Beispiel
Potenzregel	\(x^r\)	\(r\cdot x^{r-1}\)	\((x^5)'=5x^4\)
Faktorregel	\(c\cdot g(x)\)	\(c\cdot g'(x)\)	\((3x^2)'=6x\)
Summenregel	\(g(x)+h(x)\)	\(g'(x)+h'(x)\)	\((x^2+x)'=2x+1\)
Lineare Kettenregel	\(u(mx+c)\)	\(m\cdot u'(mx+c)\)	\((\sin(2x))'=2\cos(2x)\)
Produktregel	\(u(x)\cdot v(x)\)	\(u'v+uv'\)	\((x\sin x)'=\sin x + x\cos x\)

\(f(x)\)	\(c\)	\(x^n\)	\(\sqrt{x}\)	\(\frac1x\)	\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(f'(x)\)	\(0\)	\(nx^{n-1}\)	\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(-\frac{1}{x^2}\)	\(\cos x\)	\(-\sin x\)

Innere Stelle \(x_0\)	Bedingung	… und zusätzlich
Maximumstelle	\(f'(x_0)=0\)	\(f''(x_0)<0\) oder VZW von \(f'\): \(+ \to -\)
Minimumstelle	\(f'(x_0)=0\)	\(f''(x_0)>0\) oder VZW von \(f'\): \(- \to +\)
Wendestelle	\(f''(x_0)=0\)	\(f'''(x_0)\neq 0\) oder VZW von \(f''\)