Lineare Verkettung von Funktionen

Terme wie $(3x+4)^5$, $\sin(2x-1)$ oder $\sqrt{1-x}$ entstehen, wenn zwei Funktionen hintereinander ausgeführt werden.

Bei $f(x)=\sin(2x-1)$ läuft $x$ durch diese Kette:

$x \;\xrightarrow{\;\cdot\,2,\ -\,1\;}\; 2x-1 \;\xrightarrow{\;\sin\;}\; \sin(2x-1)$

Die lineare Funktion $v(x)=2x-1$ heißt innere Funktion, $u(x)=\sin(x)$ heißt äußere Funktion. Man schreibt $f(x)=u(v(x))$.

Definition & Satz

Sind $u$ differenzierbar und $v$ linear mit $v(x)=mx+c$, so heißt $f$ mit $f(x)=u(mx+c)$ lineare Verkettung von $u$ und $v$.

Für die Ableitung gilt die lineare Kettenregel:

$$f'(x)=m\cdot u'(mx+c)$$

Merke: äußere Funktion ableiten, innere einsetzen — und $m$ davor schreiben.

Ausprobieren

Verändere $m$ und $c$ bei $f(x)=\sin(mx+c)$. Mit größerem $m$ wird der Graph gestaucht — dadurch steiler, und die Ableitung bekommt den Faktor $m$.

$f(x)=\sin(mx+c)$ $f'(x)=m\cdot\cos(mx+c)$

$m$ 2

$c$ −1

Beispiel

a) $f(x)=(3x+1)^4$: innere Funktion $v(x)=3x+1$ mit $m=3$, äußere Funktion $u(x)=x^4$ mit $u'(x)=4x^3$.

$$f'(x)=3\cdot 4(3x+1)^3=12\,(3x+1)^3$$

b) $f(x)=\sqrt{1-x}$: $v(x)=1-x$ mit $m=-1$, $u(x)=\sqrt{x}$.

$$f'(x)=(-1)\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$$

c) $f(x)=\cos(4x)$: $m=4$, also $f'(x)=-4\sin(4x)$.

Teste dich

Gib $v$, $u$ und $m$ an für $f(x)=(5x-2)^3$.

$v(x)=5x-2$ (innere Funktion, $m=5$), $u(x)=x^3$ (äußere Funktion).

Leite ab: $f(x)=\sin(3x+2)$

$f'(x)=3\cos(3x+2)$

Leite ab: $f(x)=(2-x)^5$

$m=-1$, also $f'(x)=(-1)\cdot 5(2-x)^4=-5\,(2-x)^4$