Extrem- und Wendepunkte
Interessant sind die Stellen, an denen sich etwas ändert: Wo aus Steigen Fallen wird, liegt ein Hochpunkt. Wo die Kurve ihre Krümmung wechselt, ein Wendepunkt.
| Eigenschaft der Funktion | Punkt des Graphen |
|---|---|
| Maximumstelle \(x_1\), lokales Maximum \(f(x_1)\) | Hochpunkt \(H(x_1\,|\,f(x_1))\) |
| Minimumstelle \(x_2\), lokales Minimum \(f(x_2)\) | Tiefpunkt \(T(x_2\,|\,f(x_2))\) |
| Wendestelle \(x_3\) | Wendepunkt \(W(x_3\,|\,f(x_3))\) |
Fahre über den Graphen von \(f(x)=x^3-3x^2+4\). Wo wird die Tangente waagerecht? Blende danach die Lösungen ein.
Eine innere Stelle \(x_0\) ist eine Maximumstelle, wenn \(f'(x_0)=0\) ist und
\(f'\) an der Stelle \(x_0\) einen Vorzeichenwechsel \(+ \to -\) hat, oder \(f''(x_0) < 0\) ist.
Eine Minimumstelle liegt vor, wenn \(f'(x_0)=0\) ist und \(f'\) einen Vorzeichenwechsel \(- \to +\) hat, oder \(f''(x_0) > 0\) ist.
\(f'(x_0)=0\) allein genügt nicht. Und ist \(f''(x_0)=0\), so ist damit nichts entschieden — dann hilft nur das Vorzeichenwechsel-Kriterium. Beispiel: \(f(x)=x^4\) hat bei \(0\) ein Minimum, obwohl \(f''(0)=0\).
Eine innere Stelle \(x_0\) ist eine Wendestelle, wenn \(f''(x_0)=0\) ist und
\(f''\) dort einen Vorzeichenwechsel hat, oder \(f'''(x_0) \neq 0\) ist.
Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt.
Für \(f(x)=x^3-3x^2+4\) ist \(f'(x)=3x^2-6x\), \(f''(x)=6x-6\), \(f'''(x)=6\).
Extremstellen: \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x(x-2)=0\), also \(x_1=0\) und \(x_2=2\).
\(f''(0)=-6<0\) → Maximumstelle, mit \(f(0)=4\): \(H(0\,|\,4)\)
\(f''(2)=6>0\) → Minimumstelle, mit \(f(2)=0\): \(T(2\,|\,0)\)
Wendestellen: \(f''(x)=0 \Leftrightarrow x=1\). Wegen \(f'''(1)=6\neq 0\) und \(f(1)=2\): \(W(1\,|\,2)\)
Teste dich
Bestimme die Extrempunkte von \(f(x)=x^3-12x\).
\(f'(x)=3x^2-12=0\) liefert \(x=\pm 2\). Mit \(f''(x)=6x\): \(f''(-2)=-12<0\) → \(H(-2\,|\,16)\); \(f''(2)=12>0\) → \(T(2\,|\,-16)\).
Bestimme den Wendepunkt von \(f(x)=x^3-6x^2+5\).
\(f''(x)=6x-12=0\) liefert \(x=2\); \(f'''(2)=6\neq0\). Mit \(f(2)=-11\): \(W(2\,|\,-11)\).
Warum ist \(x=0\) bei \(f(x)=x^3\) keine Extremstelle, obwohl \(f'(0)=0\)?
\(f'(x)=3x^2\) ist links und rechts von \(0\) positiv — es gibt keinen Vorzeichenwechsel. Der Graph hat dort einen Sattelpunkt.