Extrem- und Wendepunkte
An Extremstellen wechselt das Monotonieverhalten: Der Graph hat dort einen Hoch- oder Tiefpunkt mit waagerechter Tangente. An Wendestellen wechselt die Krümmung — dort ändert der Graph seine Kurvenrichtung.
| Eigenschaft der Funktion | Punkt des Graphen |
|---|---|
| Maximumstelle \(x_1\), lokales Maximum \(f(x_1)\) | Hochpunkt \(H(x_1\,|\,f(x_1))\) |
| Minimumstelle \(x_2\), lokales Minimum \(f(x_2)\) | Tiefpunkt \(T(x_2\,|\,f(x_2))\) |
| Wendestelle \(x_3\) | Wendepunkt \(W(x_3\,|\,f(x_3))\) |
Eine innere Stelle \(x_0\) ist eine Maximumstelle, wenn \(f'(x_0)=0\) ist und
\(f'\) an der Stelle \(x_0\) einen Vorzeichenwechsel \(+ \to -\) hat, oder \(f''(x_0) < 0\) ist.
Eine Minimumstelle liegt vor, wenn \(f'(x_0)=0\) ist und \(f'\) einen Vorzeichenwechsel \(- \to +\) hat, oder \(f''(x_0) > 0\) ist.
\(f'(x_0)=0\) allein genügt nicht. Und ist \(f''(x_0)=0\), so ist damit nichts entschieden — dann hilft nur das Vorzeichenwechsel-Kriterium. Beispiel: \(f(x)=x^4\) hat bei \(0\) ein Minimum, obwohl \(f''(0)=0\).
Eine innere Stelle \(x_0\) ist eine Wendestelle, wenn \(f''(x_0)=0\) ist und
\(f''\) dort einen Vorzeichenwechsel hat, oder \(f'''(x_0) \neq 0\) ist.
Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt.
Am Beispiel \(f(x)=x^3-3x^2+4\): Klick dich durch die Lösung — im Graphen erscheinen die Punkte nach und nach. Mit dem Regler lässt du die Tangente wandern: An Hoch- und Tiefpunkt liegt sie waagerecht.
- Ableitungen bilden\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\), \(\;f''(x)=6x-6\), \(\;f'''(x)=6\)
- Kandidaten: \(f'(x)=0\)\(3x(x-2)=0 \;\Rightarrow\; x_1=0,\ x_2=2\)
- \(f''\) entscheidet\(f''(0)=-6\lt 0
\;\Rightarrow\;\) Hochpunkt \(H(0\,|\,4)\)
\(f''(2)=6\gt 0 \;\Rightarrow\;\) Tiefpunkt \(T(2\,|\,0)\) - Wendestelle: \(f''(x)=0\)\(6x-6=0 \;\Rightarrow\; x_3=1\); \(\;f'''(1)=6\neq 0 \;\Rightarrow\;\) Wendepunkt \(W(1\,|\,2)\)
Teste dich
Bestimme die Extrempunkte von \(f(x)=x^3-12x\).
\(f'(x)=3x^2-12=0\) liefert \(x=\pm 2\). Mit \(f''(x)=6x\): \(f''(-2)=-12<0\) → \(H(-2\,|\,16)\); \(f''(2)=12>0\) → \(T(2\,|\,-16)\).
Bestimme den Wendepunkt von \(f(x)=x^3-6x^2+5\).
\(f''(x)=6x-12=0\) liefert \(x=2\); \(f'''(2)=6\neq0\). Mit \(f(2)=-11\): \(W(2\,|\,-11)\).
Warum ist \(x=0\) bei \(f(x)=x^3\) keine Extremstelle, obwohl \(f'(0)=0\)?
\(f'(x)=3x^2\) ist links und rechts von \(0\) positiv — es gibt keinen Vorzeichenwechsel. Der Graph hat dort einen Sattelpunkt.