Ableitungsregeln und höhere Ableitungen
Die Ableitung jedes Mal über den Grenzwert zu bestimmen wäre mühsam. Mit diesen Regeln wird Ableiten zur Routine.
Potenzregel: für \(f(x)=x^r\) mit \(r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) gilt $$f'(x)=r\cdot x^{r-1}$$
Faktorregel: für \(f(x)=c\cdot g(x)\) mit \(c \in \mathbb{R}\) gilt \(\;f'(x)=c\cdot g'(x)\)
Summenregel: für \(f(x)=g(x)+h(x)\) gilt \(\;f'(x)=g'(x)+h'(x)\)
| \(f(x)\) | \(c\) | \(x^n\) | \(\sqrt{x}\) | \(\frac1x\) | \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(0\) | \(n\cdot x^{n-1}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
Fahre über den oberen Graphen. Die Steigung der Tangente an \(f\) ist genau der Funktionswert von \(f'\) unten — so zeichnest du \(f'\) Stück für Stück nach.
Ist \(f'\) selbst wieder differenzierbar, kann man weiter ableiten: Man erhält die zweite Ableitung \(f''\), danach \(f'''\) — die höheren Ableitungen.
a) \(f(x)=2x^3+4x^2-x\)
$$f'(x)=6x^2+8x-1 \qquad f''(x)=12x+8$$
b) \(g(x)=4\sin(x)-2\sqrt{x}\)
$$g'(x)=4\cos(x)-\frac{1}{\sqrt{x}} \qquad g''(x)=-4\sin(x)+\frac{1}{2}x^{-\frac32}$$
Bei Brüchen und Wurzeln hilft Umschreiben in Potenzen: \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), \(\sqrt[3]{x}=x^{\frac13}\). Danach die Potenzregel anwenden.
Teste dich
Leite ab: \(f(x)=5x^4+3x^2-7\)
\(f'(x)=20x^3+6x\) — die Konstante \(-7\) fällt weg.
Leite ab: \(f(x)=3\sin(x)+2\cos(x)\)
\(f'(x)=3\cos(x)-2\sin(x)\)
Leite ab: \(f(x)=\dfrac{4}{x}\) (erst umschreiben)
\(f(x)=4x^{-1}\), also \(f'(x)=-4x^{-2}=-\dfrac{4}{x^2}\)
Bestimme die zweite Ableitung von \(f(x)=x^3-6x\).
\(f'(x)=3x^2-6\), also \(f''(x)=6x\)