Ableitungsregeln und höhere Ableitungen
Ableiten über den Grenzwert ist mühsam. Zum Glück gibt es Ableitungsregeln, mit denen du fast jede Funktion des Basiskurses im Kopf ableitest. Leitet man \(f'\) noch einmal ab, erhält man die zweite Ableitung \(f''\) — man spricht von höheren Ableitungen.
Potenzregel: für \(f(x)=x^r\) mit \(r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) gilt $$f'(x)=r\cdot x^{r-1}$$
Faktorregel: für \(f(x)=c\cdot g(x)\) mit \(c \in \mathbb{R}\) gilt \(\;f'(x)=c\cdot g'(x)\)
Summenregel: für \(f(x)=g(x)+h(x)\) gilt \(\;f'(x)=g'(x)+h'(x)\)
| \(f(x)\) | \(c\) | \(x^n\) | \(\sqrt{x}\) | \(\frac1x\) | \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(0\) | \(n\cdot x^{n-1}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
Wähl einen Exponenten \(r\) und beobachte, wie sich \(f\) und \(f'\) verändern. Achte darauf: Der Exponent sinkt beim Ableiten immer um \(1\).
Welche Ableitung gehört zu welcher Funktion? Tippe zwei Karten an, die zusammengehören.
Ist \(f'\) selbst wieder differenzierbar, kann man weiter ableiten: Man erhält die zweite Ableitung \(f''\), danach \(f'''\) — die höheren Ableitungen.
a) \(f(x)=2x^3+4x^2-x\)
$$f'(x)=6x^2+8x-1 \qquad f''(x)=12x+8$$
b) \(g(x)=4\sin(x)-2\sqrt{x}\)
$$g'(x)=4\cos(x)-\frac{1}{\sqrt{x}} \qquad g''(x)=-4\sin(x)+\frac{1}{2}x^{-\frac32}$$
Bei Brüchen und Wurzeln hilft Umschreiben in Potenzen: \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), \(\sqrt[3]{x}=x^{\frac13}\). Danach die Potenzregel anwenden.
Teste dich
Leite ab: \(f(x)=5x^4+3x^2-7\)
\(f'(x)=20x^3+6x\) — die Konstante \(-7\) fällt weg.
Leite ab: \(f(x)=3\sin(x)+2\cos(x)\)
\(f'(x)=3\cos(x)-2\sin(x)\)
Leite ab: \(f(x)=\dfrac{4}{x}\) (erst umschreiben)
\(f(x)=4x^{-1}\), also \(f'(x)=-4x^{-2}=-\dfrac{4}{x^2}\)
Bestimme die zweite Ableitung von \(f(x)=x^3-6x\).
\(f'(x)=3x^2-6\), also \(f''(x)=6x\)