Ableitung und Tangente

Eine Rakete steigt auf. Ihre mittlere Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten ist leicht berechnet: zurückgelegte Höhe geteilt durch die benötigte Zeit. Aber wie schnell ist sie genau jetzt, in diesem einen Augenblick? Diese Frage beantwortet die Ableitung.

Mittlere ÄnderungsrateDurchschnitt zwischen zwei Stellen $a$ und $x$ — die Steigung der Sekante durch $P$ und $Q$.
Momentane ÄnderungsrateRückt $x$ immer näher an $a$ heran, wird aus der Sekante die Tangente. Ihre Steigung ist die Ableitung $f'(a)$.

Ausprobieren

Zieh den Punkt $Q$ über den Graphen. Was passiert mit der Sekante, wenn $x$ immer näher an $a$ rückt?

Graph von $f$ mit $f(x)=0{,}5x^2$ Sekante durch $P$ und $Q$ Tangente in $P$

Stelle $a$ 1

Stelle $x$ 2,4

Definition

Der Differenzenquotient $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ist die Steigung der Sekante durch $P(a\,|\,f(a))$ und $Q(x\,|\,f(x))$.

Strebt er für $x \to a$ gegen einen festen Wert, heißt $f$ an der Stelle $a$ differenzierbar. Dieser Grenzwert ist die Ableitung:

$$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

$f'(a)$ ist die Steigung des Graphen an der Stelle $a$.

Merke · Tangente

Die Tangente im Punkt $P(a\,|\,f(a))$ ist die Gerade durch $P$ mit der Steigung $f'(a)$:

$$y = f'(a)\cdot(x-a)+f(a)$$

Beispiel

Tangente an $f$ mit $f(x)=x^2$ im Punkt $P(1\,|\,1)$.

Mit $f'(x)=2x$ ist $f'(1)=2$. Einsetzen:

$$y = 2\cdot(x-1)+1 = 2x-1$$

Teste dich

Eine Funktion hat an der Stelle $4$ den Wert $3$ und die Steigung $2$. Wie lautet die Tangente?

$f(4)=3$ und $f'(4)=2$ einsetzen:

$$y = 2\cdot(x-4)+3 = 2x-5$$

Woran erkennst du am Graphen eine Stelle mit $f'(x)=0$?

Die Tangente verläuft dort waagerecht — der Graph hat die Steigung $0$, z. B. in einem Hoch- oder Tiefpunkt.

Was unterscheidet mittlere und momentane Änderungsrate?

Die mittlere gilt für ein ganzes Intervall (Sekante), die momentane für eine einzige Stelle (Tangente). Die momentane entsteht als Grenzwert der mittleren für $x \to a$.