Ableitung und Tangente

Ein Tacho zeigt dir nicht, wie schnell du im Durchschnitt warst, sondern wie schnell du genau jetzt fährst. Genau das trennen diese zwei Begriffe:

Mittlere ÄnderungsrateDurchschnitt über ein ganzes Intervall — die Steigung der Sekante.
Momentane ÄnderungsrateWert an einer einzigen Stelle — die Steigung der Tangente, also die Ableitung.

Ausprobieren

Zieh den Punkt $Q$ über den Graphen. Was passiert mit der Sekante, wenn $x$ immer näher an $a$ rückt?

Graph von $f$ mit $f(x)=0{,}5x^2$ Sekante durch $P$ und $Q$ Tangente in $P$

Stelle $a$ 1

Stelle $x$ 2,4

Definition

Der Differenzenquotient $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ist die Steigung der Sekante durch $P(a\,|\,f(a))$ und $Q(x\,|\,f(x))$.

Strebt er für $x \to a$ gegen einen festen Wert, heißt $f$ an der Stelle $a$ differenzierbar. Dieser Grenzwert ist die Ableitung:

$$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

$f'(a)$ ist die Steigung des Graphen an der Stelle $a$.

Merke · Tangente

Die Tangente im Punkt $P(a\,|\,f(a))$ ist die Gerade durch $P$ mit der Steigung $f'(a)$:

$$y = f'(a)\cdot(x-a)+f(a)$$

Beispiel

Tangente an $f$ mit $f(x)=x^2$ im Punkt $P(1\,|\,1)$.

Mit $f'(x)=2x$ ist $f'(1)=2$. Einsetzen:

$$y = 2\cdot(x-1)+1 = 2x-1$$

Teste dich

Eine Funktion hat an der Stelle $4$ den Wert $3$ und die Steigung $2$. Wie lautet die Tangente?

$f(4)=3$ und $f'(4)=2$ einsetzen:

$$y = 2\cdot(x-4)+3 = 2x-5$$

Woran erkennst du am Graphen eine Stelle mit $f'(x)=0$?

Die Tangente verläuft dort waagerecht — der Graph hat die Steigung $0$, z. B. in einem Hoch- oder Tiefpunkt.

Was unterscheidet mittlere und momentane Änderungsrate?

Die mittlere gilt für ein ganzes Intervall (Sekante), die momentane für eine einzige Stelle (Tangente). Die momentane entsteht als Grenzwert der mittleren für $x \to a$.