Produktregel

Eine naheliegende Vermutung: „Ein Produkt leitet man ab, indem man einfach beide Faktoren ableitet.“ Prüf das nach, bevor du dich darauf verlässt.

$f(x)=x^2\cdot x^3$ ist nichts anderes als $x^5$, also gilt $f'(x)=5x^4$. Beide Faktoren einzeln abgeleitet ergäbe aber $2x\cdot 3x^2=6x^3$.

Die Vermutung stimmt nicht! Für Produkte braucht man eine eigene Regel.

Satz

Sind $u$ und $v$ differenzierbar, so ist auch $f=u\cdot v$ differenzierbar, und es gilt die Produktregel:

$$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$

Merke: „Erster abgeleitet mal Zweiter, plus Erster mal Zweiter abgeleitet.“

Eselsbrücke auf Englisch: Dort heißt die Ableitung derivative, kurz d. Nennt man die beiden Faktoren statt $u$ und $v$ einfach one und two, ist die Produktregel ein kurzer Satz:

„one d two plus two d one“
gesprochen: „wuan di tuh plas tuh di wuan“

Das d gehört jeweils zur Funktion davor: „one d“ heißt one abgeleitet. Also $\text{one}'\cdot\text{two}+\text{two}'\cdot\text{one}$, in unserer Schreibweise $u'\cdot v+v'\cdot u$ — dieselbe Reihenfolge wie oben, nur im hinteren Summanden sind die beiden Faktoren vertauscht.

Baukasten

Stell dir eine Funktion aus zwei Faktoren zusammen und geh die Lösung Schritt für Schritt durch. Mit $u(x)=x^2$ und $v(x)=x^3$ rechnest du das Beispiel von oben nach.

Erster Faktor $u(x)$

Zweiter Faktor $v(x)$

Bausteine ableiten
Produktregel aufschreiben
Einsetzen

Graph von $f$ mit $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ Graph von $f'$ — erscheint nach dem letzten Schritt

Beispiel

a) $f(x)=x^2\cdot\sin(x)$ mit $u(x)=x^2$, $v(x)=\sin(x)$:

$$f'(x)=2x\cdot\sin(x)+x^2\cdot\cos(x)$$

b) $f(x)=\sqrt{x}\cdot(3-x)$ mit $u(x)=\sqrt{x}$, $v(x)=3-x$:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(3-x)+\sqrt{x}\cdot(-1)=\frac{3-x}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}$$

Tipp

Schreib vor dem Ableiten immer erst $u$, $v$, $u'$ und $v'$ einzeln auf — das vermeidet die meisten Fehler.

Teste dich

Leite ab: $f(x)=x\cdot\cos(x)$

$u=x,\ u'=1,\ v=\cos(x),\ v'=-\sin(x)$

$f'(x)=\cos(x)-x\sin(x)$

Leite ab: $f(x)=x^3\cdot\sin(x)$

$f'(x)=3x^2\sin(x)+x^3\cos(x)$

Warum braucht man für $f(x)=x\cdot(x^2-1)$ keine Produktregel?

Ausmultiplizieren geht schneller: $f(x)=x^3-x$, also $f'(x)=3x^2-1$. Die Produktregel liefert dasselbe Ergebnis.