Produktregel

Summen darf man summandenweise ableiten. Bei einem Produkt funktioniert „faktorweise ableiten“ aber nicht.

Für $f(x)=x\cdot x = x^2$ wissen wir: $f'(x)=2x$. Faktorweises Ableiten ergäbe aber $1 \cdot 1 = 1$ — falsch. Produkte brauchen eine eigene Regel.

Satz

Sind $u$ und $v$ differenzierbar, so ist auch $f=u\cdot v$ differenzierbar, und es gilt die Produktregel:

$$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$

Merke: „Erster abgeleitet mal Zweiter, plus Erster mal Zweiter abgeleitet.“

Ausprobieren

Denk dir $u(x)\cdot v(x)$ als Fläche eines Rechtecks mit den Seiten $u$ und $v$. Wächst $x$ um $h$, kommen zwei Streifen und eine kleine Ecke dazu. Zieh $h$ gegen $0$ und beobachte die Ecke.

Schritt $h$ 1,2

Die beiden Streifen wachsen proportional zu $h$ — sie liefern $u'v$ und $uv'$. Die Ecke wird für $h \to 0$ verschwindend klein. Übrig bleibt die Produktregel.

Beispiel

a) $f(x)=x^2\cdot\sin(x)$ mit $u(x)=x^2$, $v(x)=\sin(x)$:

$$f'(x)=2x\cdot\sin(x)+x^2\cdot\cos(x)$$

b) $f(x)=\sqrt{x}\cdot(3-x)$ mit $u(x)=\sqrt{x}$, $v(x)=3-x$:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(3-x)+\sqrt{x}\cdot(-1)=\frac{3-x}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}$$

Tipp

Schreib vor dem Ableiten immer erst $u$, $v$, $u'$ und $v'$ einzeln auf — das vermeidet die meisten Fehler.

Teste dich

Leite ab: $f(x)=x\cdot\cos(x)$

$u=x,\ u'=1,\ v=\cos(x),\ v'=-\sin(x)$

$f'(x)=\cos(x)-x\sin(x)$

Leite ab: $f(x)=x^3\cdot\sin(x)$

$f'(x)=3x^2\sin(x)+x^3\cos(x)$

Warum braucht man für $f(x)=x\cdot(x^2-1)$ keine Produktregel?

Ausmultiplizieren geht schneller: $f(x)=x^3-x$, also $f'(x)=3x^2-1$. Die Produktregel liefert dasselbe Ergebnis.