Vektoren im Raum

Ein Punkt im Raum braucht drei Zahlen. Ein Vektor braucht auch drei — er sagt aber nicht, wo etwas ist, sondern wie weit in welche Richtung man geht.

Ausprobieren

Stell den Vektor $\vec v$ ein. Grün siehst du den Weg in drei Schritten: erst $v_1$ nach vorn, dann $v_2$ nach rechts, dann $v_3$ nach oben. Der blasse Pfeil zeigt denselben Vektor an einer anderen Stelle angesetzt.

Der Vektor $\vec v$ vom Ursprung aus Der Weg in den drei Koordinatenrichtungen Die Diagonale in der Grundfläche

$v_1$ 2

$v_2$ 4

$v_3$ 3

Merke · Vektor und Ortsvektor

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung im Raum:

$$\vec v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}$$

Alle Pfeile mit gleicher Länge und gleicher Richtung gehören zu demselben Vektor — egal, wo sie beginnen. Das ist der Unterschied zum Punkt.

OrtsvektorDer Vektor $\overrightarrow{OA}$ vom Ursprung zum Punkt $A$. Er hat dieselben Zahlen wie die Koordinaten von $A$.
VerbindungsvektorVon $P(p_1|p_2|p_3)$ nach $Q(q_1|q_2|q_3)$: $\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} q_1-p_1 \\ q_2-p_2 \\ q_3-p_3\end{pmatrix}$ — Ziel minus Start.
Gegenvektor$\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$: gleich lang, entgegengesetzte Richtung.
Nullvektor$\vec o$ verschiebt nichts.

Merke · Rechnen mit Vektoren

Addiert und mit Zahlen multipliziert wird zeilenweise:

$$\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}, \qquad 3\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\9\\6\end{pmatrix}$$

Geometrisch: Bei $\vec v + \vec w$ hängt man den Pfeil von $\vec w$ an die Spitze von $\vec v$. Bei $3\cdot\vec a$ wird der Pfeil dreimal so lang, bei $-2\cdot\vec a$ doppelt so lang und umgedreht.

Merke · Betrag und Einheitsvektor

Der Betrag $\lvert\vec v\rvert$ ist die Länge eines Pfeils von $\vec v$. Er entsteht aus dem Satz des Pythagoras — einmal in der Grundfläche, einmal nach oben:

$$\lvert\vec v\rvert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$$

Damit ist $\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert$ zugleich der Abstand der Punkte $P$ und $Q$.

Der Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung, ist aber genau $1$ lang. Man teilt dazu durch die eigene Länge:

$$\vec v_0 = \frac{1}{\lvert\vec v\rvert}\cdot\vec v \qquad (\vec v \neq \vec o)$$

Den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ erreicht man, indem man von $A$ aus den halben Weg geht: $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \tfrac12\cdot\overrightarrow{AB}$.

Beispiel

Gegeben sind $A(1|{-2}|2)$ und $B(3|2|{-1})$.

a) Verbindungsvektor — Ziel minus Start:

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3-1\\2-(-2)\\-1-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}$$

b) Abstand der beiden Punkte:

$$\lvert\overrightarrow{AB}\rvert = \sqrt{2^2+4^2+(-3)^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$$

c) Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ — beide Koordinaten mitteln:

$$M\left(\tfrac{1+3}{2}\,\Big|\,\tfrac{-2+2}{2}\,\Big|\,\tfrac{2+(-1)}{2}\right) = M(2|0|0{,}5)$$

Teste dich

Der Punkt $P(2|1|4)$ wird um $\vec v = \begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}$ verschoben. Wo landet er?

Zum Ortsvektor von $P$ wird $\vec v$ addiert:

$$\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$$

Der Bildpunkt ist $P'(1|4|2)$.

Warum ist $\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}$ genau $10$ lang — und wie lautet der zugehörige Einheitsvektor?

$$\sqrt{6^2+0^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$$

Für den Einheitsvektor wird jede Koordinate durch $10$ geteilt:

$$\vec v_0 = \tfrac{1}{10}\cdot\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}6\\0\\0{,}8\end{pmatrix}$$

Probe: $\sqrt{0{,}36+0+0{,}64} = 1$. ✓

Die Punkte $A(0|1|2)$ und $B(4|1|2)$ liegen fest. Welche Punkte $X$ haben von $A$ denselben Vektor wie $B$ von $X$?

Gesucht ist $X$ mit $\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{XB}$ — das ist genau der Mittelpunkt:

$$M\left(\tfrac{0+4}{2}\,\Big|\,\tfrac{1+1}{2}\,\Big|\,\tfrac{2+2}{2}\right) = M(2|1|2)$$

Es gibt also nur einen einzigen solchen Punkt.