Ebenengleichungen umformen — das Vektorprodukt
Du kennst Ebenen jetzt in Parameterform und in Koordinatenform. Beide können dieselbe Ebene beschreiben. Hier geht es zunächst darum, aus der Parameterform eine Koordinatenform zu machen.
$$\vec x = \vec p + r\vec a + s\vec b$$
\(\vec p\) führt zu einem Punkt der Ebene. Die Spannvektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) geben zwei Richtungen in der Ebene vor.
$$n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d$$
Die Vorfaktoren kommen aus einem Normalenvektor \(\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\) senkrecht zur Ebene.
Gesucht ist also ein Vektor \(\vec n\ne\vec 0\), der zu beiden Spannvektoren orthogonal ist:
$$\vec n\cdot\vec a=0 \qquad\text{und}\qquad \vec n\cdot\vec b=0.$$
Steht er auf beiden unabhängigen Spannrichtungen senkrecht, steht er auf der ganzen Ebene senkrecht. Genau diesen Normalenvektor brauchen wir.
Die gelbe Fläche ist ein Stück der Ebene durch \(P(1|1|0)\). Blau und grün zeigen ihre Spannvektoren. Rot siehst du einen passenden Normalenvektor \(\vec n\). Dreh das Bild: Die beiden roten Winkelzeichen markieren jeweils \(90^\circ\).
Verändere \(\vec b\). Solange die beiden Spannvektoren eine Ebene aufspannen, bleibt \(\vec n\) zu beiden orthogonal.
Wie berechnen wir diesen Normalenvektor? Dafür gibt es ein neues Werkzeug: das Vektorprodukt, auch Kreuzprodukt genannt. Wir schreiben \(\vec a\times\vec b\). Bevor die allgemeine Formel kommt, probiere den Rechentrick aus.
Wir nehmen die beiden Spannvektoren aus der Anfangseinstellung des Bildes: \(\vec a=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\).
Nebeneinander → darunter wiederholen → erste und letzte Zeile streichen → dreimal über Kreuz.
↘ Blau: links oben mal rechts unten.
↗ Rot gestrichelt: links unten mal rechts oben.
Immer: blaues Produkt minus rotes Produkt.
Das Kreuzschema mit Buchstaben statt Zahlen: Für zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) im Raum heißt der Vektor
$$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2\\ a_3b_1 - a_1b_3\\ a_1b_2 - a_2b_1\end{pmatrix}$$
das Vektorprodukt von \(\vec a\) und \(\vec b\), gelesen „\(a\) Kreuz \(b\)“. Hier kommt ein Vektor heraus — beim Skalarprodukt ist es eine Zahl.
Satz: \(\vec a \times \vec b\) ist orthogonal zu \(\vec a\) und zu \(\vec b\).
Spannen \(\vec a\) und \(\vec b\) eine Ebene auf, ist \(\vec n=\vec a\times\vec b\) also ein Normalenvektor dieser Ebene.
Sind die Vektoren parallel oder ist einer der Nullvektor, kommt \(\vec 0\) heraus. Dann spannen sie keine Ebene auf und das Kreuzprodukt liefert keinen Normalenvektor.
Probe: Prüfe mit dem Skalarprodukt, ob \(\vec n\cdot\vec a=0\) und \(\vec n\cdot\vec b=0\) sind.
Parameterform → Koordinatenform
- \(\vec n = \vec a \times \vec b\) aus den beiden Spannvektoren berechnen.
- Die Koordinaten von \(\vec n\) sind die Vorfaktoren: \(n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d\).
- \(d = \vec p \cdot \vec n\) mit dem Stützvektor bestimmen.
Jetzt die Ebene aus der Anfangseinstellung vollständig umformen:
$$E:\ \vec x = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$$
1. Normalenvektor — über Kreuz:
$$\begin{aligned}\vec n &= \begin{pmatrix}0\cdot 1 - 1\cdot 2\\ 1\cdot 0 - 2\cdot 1\\ 2\cdot 2 - 0\cdot 0\end{pmatrix}\\[6pt] &= \begin{pmatrix}-2\\-2\\4\end{pmatrix}\end{aligned}$$
Probe: \(-4 + 0 + 4 = 0\) ✓ und \(0 - 4 + 4 = 0\) ✓.
2. Vorfaktoren ablesen. Wir dürfen den Normalenvektor durch \(-2\) teilen. Der kürzere Vektor \(\vec n_0 = \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\) steht ebenfalls senkrecht auf der Ebene. Damit: \(x_1 + x_2 - 2x_3 = d\).
3. \(d\) aus dem Stützvektor:
$$d = \vec p\cdot\vec n_0 = 1\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot(-2)=2$$
$$\boxed{E:\ x_1+x_2-2x_3=2}$$
Dieselbe Ebene, jetzt in Koordinatenform.
Und die anderen Wege zwischen den Ebenenformen?
Koordinatenform → Parameterform: Suche drei Punkte \(P,Q,R\), die die Gleichung erfüllen und nicht auf einer Geraden liegen. Dann gilt:
$$\vec x=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}+s\,\overrightarrow{PR}.$$
Drei Punkte → Koordinatenform: Berechne zuerst die Spannvektoren \(\overrightarrow{PQ}\) und \(\overrightarrow{PR}\), dann \(\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\) und \(d=\overrightarrow{OP}\cdot\vec n\).
Teste dich
Warum reicht es nicht, wenn \(\vec n\) nur zu einem Spannvektor orthogonal ist?
Er könnte dann noch schräg zur Ebene stehen oder sogar in ihr liegen. Ein Normalenvektor muss auf beiden unabhängigen Spannrichtungen senkrecht stehen. Erst dann ist er orthogonal zur ganzen Ebene.
Berechne \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}\).
$$\begin{pmatrix}2\cdot 2 - 3\cdot(-1)\\ 3\cdot 4 - 1\cdot 2\\ 1\cdot(-1) - 2\cdot 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\10\\-9\end{pmatrix}$$
Probe: \(7 + 20 - 27 = 0\) ✓ und \(28 - 10 - 18 = 0\) ✓.
Was ergibt \(\vec a \times \vec a\), und warum?
Den Nullvektor. Setzt man in die Formel überall dieselben Koordinaten ein, steht in jeder Zeile eine Differenz zweier gleicher Produkte, etwa \(a_2a_3 - a_3a_2 = 0\).
Geometrisch: \(\vec a\) und \(\vec a\) spannen keine Ebene auf. Es gibt zwar senkrechte Richtungen zu \(\vec a\), aber keine eindeutig bestimmte Normalenrichtung einer Ebene.
Stelle die Koordinatengleichung der Ebene durch \(P(1|0|0)\), \(Q(0|2|0)\) und \(R(0|0|3)\) auf.
$$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$$
$$\vec n = \begin{pmatrix}2\cdot 3 - 0\cdot 0\\ 0\cdot(-1) - (-1)\cdot 3\\ (-1)\cdot 0 - 2\cdot(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}$$
\(d = 6\cdot 1 + 3\cdot 0 + 2\cdot 0 = 6\), also
$$E:\ 6x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6$$
Probe mit \(Q\): \(0 + 6 + 0 = 6\) ✓, mit \(R\): \(0 + 0 + 6 = 6\) ✓.