Ebenengleichungen umformen — das Vektorprodukt

Für die Koordinatengleichung fehlt nur noch der Normalenvektor. Zu zwei Spannvektoren einen zu finden, der auf beiden senkrecht steht, wäre mühsam — dafür gibt es eine Formel.

Ausprobieren

$\vec a$ steht fest, $\vec b$ stellst du ein. Rot erscheint $\vec a \times \vec b$: Egal wie du $\vec b$ wählst — der rote Pfeil steht immer senkrecht auf der gelben Fläche. Nur eine Einstellung bringt ihn zum Verschwinden; such sie.

$\vec a$ — fest $\vec b$ — mit den Reglern $\vec a \times \vec b$ (nur die Richtung, fürs Bild gekürzt)

$b_1$ 0

$b_2$ 2

$b_3$ 1

Definition · Vektorprodukt

Zu zwei Vektoren gehört der Vektor

$$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2\\ a_3b_1 - a_1b_3\\ a_1b_2 - a_2b_1\end{pmatrix}$$

gelesen „$a$ Kreuz $b$“. Hier kommt ein Vektor heraus — anders als beim Skalarprodukt.

Satz: $\vec a \times \vec b$ ist orthogonal zu $\vec a$ und zu $\vec b$.

Damit ist $\vec a \times \vec b$ ein Normalenvektor der Ebene, die von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannt wird. Sind die beiden Vielfache voneinander, spannen sie keine Ebene auf — und heraus kommt der Nullvektor.

Tipp · Das Rechenschema

Jede Zeile des Ergebnisses benutzt die beiden anderen Zeilen über Kreuz. Für die erste Zeile also die Zeilen 2 und 3:

$$a_2b_3 - a_3b_2$$

Dann rückt alles eins weiter: zweite Zeile aus 3 und 1, dritte Zeile aus 1 und 2. Die Reihenfolge $2,3 \to 3,1 \to 1,2$ einfach durchziehen.

Immer eine Probe wert: Beide Skalarprodukte $\vec n \cdot \vec a$ und $\vec n \cdot \vec b$ müssen $0$ ergeben.

Merke · Zwischen den Ebenenformen wechseln

Parameterform → Koordinatenform

$\vec n = \vec u \times \vec v$ aus den beiden Spannvektoren berechnen.
Die Koordinaten von $\vec n$ sind die Vorfaktoren: $a\,x_1 + b\,x_2 + c\,x_3 = d$.
$d = \vec p \cdot \vec n$ mit dem Stützvektor bestimmen.

Koordinatenform → Parameterform

Drei Punkte suchen, die die Gleichung erfüllen und nicht auf einer Geraden liegen (am einfachsten die Spurpunkte aus Lerneinheit 7).
$\vec x = \overrightarrow{OP} + r\cdot\overrightarrow{PQ} + s\cdot\overrightarrow{PR}$.

Drei Punkte → Koordinatenform: beides hintereinander, $\vec n = \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$.

Beispiel

Von der Parameterform zur Koordinatengleichung:

$$E:\ \vec x = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$$

1. Normalenvektor — über Kreuz:

$$\vec n = \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot 1 - 1\cdot 2\\ 1\cdot 0 - 2\cdot 1\\ 2\cdot 2 - 0\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\4\end{pmatrix}$$

Probe: $-4 + 0 + 4 = 0$ ✓ und $0 - 4 + 4 = 0$ ✓.

2. Vorfaktoren ablesen, hier gleich durch $-2$ gekürzt: $\vec n = \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$, also $x_1 + x_2 - 2x_3 = d$.

3. $d$ aus dem Stützvektor:

$$d = 1 + 1 - 0 = 2 \quad\Longrightarrow\quad E:\ x_1 + x_2 - 2x_3 = 2$$

Teste dich

Berechne $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}$.

$$\begin{pmatrix}2\cdot 2 - 3\cdot(-1)\\ 3\cdot 4 - 1\cdot 2\\ 1\cdot(-1) - 2\cdot 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\10\\-9\end{pmatrix}$$

Probe: $7 + 20 - 27 = 0$ ✓ und $28 - 10 - 18 = 0$ ✓.

Was ergibt $\vec a \times \vec a$, und warum?

Den Nullvektor. Setzt man in die Formel überall dieselben Koordinaten ein, steht in jeder Zeile eine Differenz zweier gleicher Produkte, etwa $a_2a_3 - a_3a_2 = 0$.

Geometrisch: $\vec a$ und $\vec a$ spannen keine Ebene auf, also gibt es auch keine Normalenrichtung.

Stelle die Koordinatengleichung der Ebene durch $P(1|0|0)$, $Q(0|2|0)$ und $R(0|0|3)$ auf.

$$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$$

$$\vec n = \begin{pmatrix}2\cdot 3 - 0\cdot 0\\ 0\cdot(-1) - (-1)\cdot 3\\ (-1)\cdot 0 - 2\cdot(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}$$

$d = 6\cdot 1 + 3\cdot 0 + 2\cdot 0 = 6$, also

$$E:\ 6x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6$$

Probe mit $Q$: $0 + 6 + 0 = 6$ ✓, mit $R$: $0 + 0 + 6 = 6$ ✓.