Ebenen veranschaulichen

Eine Ebene ist unbegrenzt — zeichnen kann man immer nur einen Ausschnitt. Die Stellen, an denen sie die Koordinatenachsen durchstößt, geben dafür den besten Halt.

Ausprobieren

Die rechte Seite bleibt bei $6$, nur die Vorfaktoren $a$, $b$, $c$ lassen sich schieben. Beobachte die drei roten Punkte — und was passiert, wenn du einen Vorfaktor auf $0$ stellst.

Ausschnitt der Ebene $E$ Spurgeraden und Spurpunkte

$a$ 1

$b$ 3

$c$ 2

Merke · Spurpunkte und Spurgeraden

SpurpunktSchnittpunkt der Ebene mit einer Koordinatenachse. Man findet ihn, indem man die beiden anderen Koordinaten $0$ setzt.
SpurgeradeSchnittgerade der Ebene mit einer Koordinatenebene. Sie verbindet je zwei Spurpunkte.

Für $E: a x_1 + b x_2 + c x_3 = d$ mit $d \neq 0$:

$$S_1\Big(\tfrac{d}{a}\,\Big|\,0\,\Big|\,0\Big), \qquad S_2\Big(0\,\Big|\,\tfrac{d}{b}\,\Big|\,0\Big), \qquad S_3\Big(0\,\Big|\,0\,\Big|\,\tfrac{d}{c}\Big)$$

Zum Zeichnen markiert man die Spurpunkte auf den Achsen und verbindet sie zu einem Dreieck. Dessen Seiten sind Stücke der Spurgeraden.

Merke · Wenn ein Vorfaktor $0$ ist

Drei SpurpunkteAlle Vorfaktoren $\neq 0$ — das gewohnte Dreieck.
Zwei SpurpunkteEin Vorfaktor ist $0$, etwa $c = 0$. Dann kommt $x_3$ in der Gleichung nicht vor: Egal wie hoch man geht, die Bedingung bleibt dieselbe. Die Ebene ist parallel zur $x_3$-Achse.
Ein SpurpunktZwei Vorfaktoren sind $0$, etwa $E: a x_1 = d$. Die Ebene ist parallel zur $x_2x_3$-Ebene.

Die Regel dahinter ist immer dieselbe: Eine fehlende Variable bedeutet Parallelität zur zugehörigen Achse.

Beispiel

$E: 2x_1 + 6x_2 + 3x_3 = 12$.

Spurpunkt auf der $x_1$-Achse: $x_2 = x_3 = 0$ einsetzen ergibt $2x_1 = 12$, also $S_1(6|0|0)$.

Genauso: $6x_2 = 12$ gibt $S_2(0|2|0)$ und $3x_3 = 12$ gibt $S_3(0|0|4)$.

Die drei Punkte auf den Achsen markieren und verbinden — fertig ist der Ausschnitt.

Zum Vergleich $F: 2x_1 + 6x_2 = 12$: Dieselben Spurpunkte $S_1$ und $S_2$, aber keiner auf der $x_3$-Achse. Weil $x_3$ fehlt, ist $F$ parallel zur $x_3$-Achse — der Ausschnitt wird zu einem senkrechten Streifen.

Teste dich

Bestimme die Spurpunkte von $E: 3x_1 - 2x_2 + x_3 = 6$.

Jeweils die beiden anderen Koordinaten $0$ setzen:

$$3x_1 = 6 \Rightarrow S_1(2|0|0), \qquad -2x_2 = 6 \Rightarrow S_2(0|-3|0), \qquad x_3 = 6 \Rightarrow S_3(0|0|6)$$

Ein negativer Spurpunkt ist völlig normal — er liegt auf dem negativen Teil der Achse.

Wie liegt $E: x_2 = 4$ im Koordinatensystem?

Ausgeschrieben: $0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 4$. Es gibt nur den Spurpunkt $S_2(0|4|0)$.

Weil $x_1$ und $x_3$ fehlen, ist $E$ parallel zu beiden zugehörigen Achsen, also parallel zur $x_1x_3$-Ebene — eine „Wand“ im Abstand $4$.

Warum hat eine Ebene durch den Ursprung diese drei Spurpunkte nicht?

Bei $d = 0$ liefert jede der drei Rechnungen $x_1 = 0$, $x_2 = 0$ bzw. $x_3 = 0$ — alle drei „Spurpunkte“ fallen im Ursprung zusammen.

Zum Zeichnen nimmt man dann andere Punkte der Ebene, etwa zwei selbst gewählte Lösungen der Gleichung zusammen mit dem Ursprung.