Gegenseitige Lage von Ebenen

Zwei Ebenen können sich nicht in einem Punkt treffen. Entweder sie schneiden sich in einer ganzen Geraden, oder sie berühren sich überhaupt nicht — oder sie sind ein und dieselbe Ebene.

Ausprobieren

$E_1$ steht fest. Stell $E_2$ ein und finde alle drei Fälle. Der Schlüssel liegt bei den Normalenvektoren: Erst wenn $\vec n_2$ ein Vielfaches von $\vec n_1$ ist, wird es interessant.

$E_1:\ 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 4$ $E_2$ — mit den Reglern Schnittgerade

$a_2$ 1

$b_2$ -1

$c_2$ 1

$d_2$ 2

Merke · Der Entscheidungsweg

Gegeben sind $E_1: a_1x_1 + b_1x_2 + c_1x_3 = d_1$ und $E_2: a_2x_1 + b_2x_2 + c_2x_3 = d_2$ mit den Normalenvektoren $\vec n_1$ und $\vec n_2$.

$\vec n_1$ und $\vec n_2$ sind keine VielfachenDie Ebenen sind verschieden geneigt und schneiden sich in einer Geraden.
Vielfache, ganze Gleichungen aber nichtEcht parallel — die Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt.
Vielfache, ganze Gleichungen auchDie Ebenen sind identisch.

Die letzten beiden Fälle trennt also allein die rechte Seite: $2x_1+x_2+2x_3=4$ und $4x_1+2x_2+4x_3=8$ sind dieselbe Ebene, $4x_1+2x_2+4x_3=9$ dagegen eine echt parallele.

Merke · Die Schnittgerade berechnen

Beide Gleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und nur zwei Zeilen — genau der Fall „unendlich viele Lösungen“ aus Kapitel V. Man setzt eine Variable als Parameter und löst nach den anderen auf; heraus kommt die Parametergleichung der Schnittgeraden.

Als Kontrolle taugt das Vektorprodukt: Die Schnittgerade liegt in beiden Ebenen, ihre Richtung steht also auf beiden Normalenvektoren senkrecht:

$$\vec u = \vec n_1 \times \vec n_2$$

Beispiel

$E_1: 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 4$ und $E_2: x_1 - x_2 + x_3 = 2$.

$\vec n_1 = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ ist kein Vielfaches von $\vec n_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ — es gibt also eine Schnittgerade.

Addiert man beide Gleichungen, fällt $x_2$ heraus:

$$3x_1 + 3x_3 = 6 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 2 - x_3$$

Setzt man $x_3 = t$, so ist $x_1 = 2 - t$. Die zweite Gleichung nach $x_2$ aufgelöst ergibt $x_2 = x_1 + x_3 - 2$, also

$$x_2 = (2-t) + t - 2 = 0$$

Die zweite Koordinate ist demnach immer $0$:

$$s:\ \vec x = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Probe mit dem Vektorprodukt: $\vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{pmatrix}1\cdot 1 - 2\cdot(-1)\\ 2\cdot 1 - 2\cdot 1\\ 2\cdot(-1) - 1\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$ — das ist $-3$-mal der Richtungsvektor. ✓

Teste dich

Wie liegen $E: 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 1$ und $F: -6x_1 + 4x_2 - 8x_3 = -2$ zueinander?

$\vec n_F = \begin{pmatrix}-6\\4\\-8\end{pmatrix} = -2\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix} = -2\,\vec n_E$ — Vielfache.

Und die rechte Seite? $-2 = -2\cdot 1$ ✓ — die ganze Gleichung von $F$ ist das $(-2)$-fache von $E$.

Die beiden Ebenen sind identisch.

Warum können sich zwei Ebenen nicht in genau einem Punkt schneiden?

Angenommen, sie hätten den Punkt $S$ gemeinsam. Ihre Normalenvektoren sind dann keine Vielfachen voneinander (sonst wären die Ebenen parallel oder gleich).

Der Vektor $\vec n_1 \times \vec n_2$ ist nicht der Nullvektor und steht auf beiden Normalenvektoren senkrecht — er zeigt also in eine Richtung, die in beiden Ebenen liegt. Damit gehört die ganze Gerade durch $S$ mit dieser Richtung zu beiden Ebenen.

Aus einem gemeinsamen Punkt wird so zwangsläufig eine ganze gemeinsame Gerade.

Bestimme die Schnittgerade von $E: x_1 + x_2 = 3$ und $F: x_3 = 1$.

$\vec n_E = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\vec n_F = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ sind keine Vielfachen — es gibt eine Schnittgerade.

Aus $F$ folgt sofort $x_3 = 1$. Setzt man $x_1 = t$, so ist $x_2 = 3 - t$:

$$s:\ \vec x = \begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$$

Probe: $\vec n_E \times \vec n_F = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ ✓