Zueinander orthogonale Vektoren

Ob zwei Pfeile im Raum senkrecht aufeinander stehen, sieht man einer Zeichnung nicht an. Eine einzige Rechnung entscheidet es — und ihr Ergebnis ist keine Richtung, sondern eine Zahl.

Ausprobieren

$\vec a$ steht fest. Stell $\vec b$ so ein, dass das Skalarprodukt genau $0$ wird — dann stehen die beiden senkrecht aufeinander. Es gibt viele Lösungen; finde mehrere.

$\vec a$ — fest $\vec b$ — mit den Reglern alle zu $\vec a$ orthogonalen Richtungen

$b_1$ 2

$b_2$ 1

$b_3$ 3

Definition · Skalarprodukt

Zu zwei Vektoren gehört die Zahl

$$\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$

Sie heißt Skalarprodukt. Der Name erinnert daran, dass hier kein Vektor herauskommt, sondern ein „Skalar“ — eine gewöhnliche Zahl.

Für $\vec a \neq \vec o$ und $\vec b \neq \vec o$ gilt:

$$\vec a \perp \vec b \quad\Longleftrightarrow\quad \vec a \cdot \vec b = 0$$

Der Nullvektor ist zu jedem Vektor orthogonal.

Merke · Woher das Kriterium kommt

Zwei Pfeile mit gemeinsamem Anfangspunkt stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn im Dreieck der Satz des Pythagoras gilt:

$$\lvert\vec a - \vec b\rvert^2 = \lvert\vec a\rvert^2 + \lvert\vec b\rvert^2$$

Rechnet man die linke Seite aus, bleibt genau ein Term übrig, der stören kann:

$$\lvert\vec a - \vec b\rvert^2 = \lvert\vec a\rvert^2 + \lvert\vec b\rvert^2 - 2\,(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)$$

Der rechte Winkel liegt also genau dann vor, wenn dieser Term verschwindet. Nebenbei fällt ab: $\vec a \cdot \vec a = \lvert\vec a\rvert^2$.

Beispiel

a) Stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander?

$$\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\5\end{pmatrix} = 3\cdot 1 + (-2)\cdot 4 + 1\cdot 5 = 3 - 8 + 5 = 0$$

Ja — das Skalarprodukt ist $0$.

b) Für welches $z$ ist $\begin{pmatrix}2\\1\\z\end{pmatrix}$ orthogonal zu $\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}$?

$$2 + 3 - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = 5$$

c) Im Dreieck mit $A(1|0|0)$, $B(3|2|0)$, $C(0|1|2)$ ist der Winkel bei $A$ zu prüfen:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix} = -2 + 2 + 0 = 0$$

Bei $A$ sitzt also ein rechter Winkel.

Teste dich

Warum gibt es zu $\vec a$ unendlich viele orthogonale Vektoren?

Die Bedingung $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$ ist eine Gleichung für drei Unbekannte. Zwei davon sind frei wählbar.

Geometrisch: Alle diese Vektoren liegen in einer Ebene durch den Ursprung — genau die Fläche, die im Schaubild oben zuschaltbar ist. Aus dieser Beobachtung wird in der nächsten Lerneinheit die Koordinatengleichung.

Bestimme $z$ so, dass $\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$ orthogonal sind.

$$4\cdot 2 + (-1)\cdot 6 + z\cdot 3 = 8 - 6 + 3z = 2 + 3z$$

Gleich $0$ gesetzt: $3z = -2$, also $z = -\tfrac{2}{3}$.

Ein Mitschüler sagt: „Das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ ist wieder ein Vektor.“ Was ist daran falsch?

Es werden drei Produkte gebildet und dann addiert. Am Ende steht eine einzige Zahl da, kein Zahlentripel.

Ein Produkt zweier Vektoren, aus dem wirklich ein Vektor wird, gibt es auch — das Vektorprodukt in Lerneinheit 6. Die beiden nicht verwechseln.